Trigonometria Exemplos

$\sin (θ) - \cos (θ) = \sqrt{2}$

Etapa 1

Use a fórmula para resolver a equação. Nesta fórmula, $θ$ representa o ângulo criado ao plotar o ponto $(a, b)$ em um gráfico e, portanto, pode ser encontrado usando $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ em que $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ e $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Etapa 2

Estabeleça a equação para encontrar o valor de $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Etapa 3

Obtenha a tangente inversa para resolver a equação de $θ$ .

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Etapa 3.3

O valor exato de $\tan^{-1} (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Etapa 4

Resolva para encontrar o valor de $R$ .

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Etapa 4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$R = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$R = \sqrt{1 + 1}$

Etapa 4.3

Some $1$ e $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Etapa 5

Substitua os valores conhecidos na equação.

$(\sqrt{2}) \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Etapa 6

Divida cada termo em $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ por $\sqrt{2}$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ por $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{2}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $\sin (θ - \frac{π}{4})$ por $1$ .

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{2}$ .

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Etapa 6.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = 1$

Etapa 7

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (1)$

Etapa 8

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.1

O valor exato de $\sin^{-1} (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Etapa 9

Mova todos os termos que não contêm $θ$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1

Some $\frac{π}{4}$ aos dois lados da equação.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Etapa 9.2

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Etapa 9.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 9.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 9.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Etapa 9.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Etapa 9.5.2

Some $2 π$ e $π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 10

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{2}$

Etapa 11

Resolva $θ$ .

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Etapa 11.1

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 11.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 11.1.2

Combine frações.

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Etapa 11.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 11.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 11.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 11.1.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Etapa 11.2

Mova todos os termos que não contêm $θ$ para o lado direito da equação.

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Etapa 11.2.1

Some $\frac{π}{4}$ aos dois lados da equação.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Etapa 11.2.2

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Etapa 11.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.2.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Etapa 11.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Etapa 11.2.5.2

Some $2 π$ e $π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 12

Encontre o período de $\sin (θ - \frac{π}{4})$ .

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Etapa 12.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 12.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 12.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 12.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13

O período da função $\sin (θ - \frac{π}{4})$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$