Trigonometria Exemplos

$\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)} = x$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)} = x$

Etapa 2.2

Divida cada termo na equação por $\cos (y)$ .

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}}{\cos (y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

Etapa 2.3

Separe as frações.

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

Etapa 2.4

Converta de $\frac{1}{\cos (y)}$ em $\sec (y)$ .

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}}{1} \cdot \sec (y) = \frac{x}{\cos (y)}$

Etapa 2.5

Divida $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}$ por $1$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)} \cdot \sec (y) = \frac{x}{\cos (y)}$

Etapa 2.6

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} \cdot \sec (y) = \frac{x}{\cos (y)}$

Etapa 2.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Combine $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)}$ e $\sec (y)$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2} \sec (y)}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

Etapa 2.7.2

Reordene os fatores em $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2} \sec (y)}{1 + \sin (2 y)}$ .

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

Etapa 2.8

Separe as frações.

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\cos (y)}$

Etapa 2.9

Converta de $\frac{1}{\cos (y)}$ em $\sec (y)$ .

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{1} \cdot \sec (y)$

Etapa 2.10

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

Etapa 2.11

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Simplifique $\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1

Reescreva $\sec (y)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{1}{\cos (y)} {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

Etapa 2.11.1.2

Combine $\frac{1}{\cos (y)}$ e ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ .

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y)}}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

Etapa 2.11.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y)} \cdot \frac{1}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

Etapa 2.11.1.4

Multiplique $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y)}$ por $\frac{1}{1 + \sin (2 y)}$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = x \sec (y)$

Etapa 2.12

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.1

Simplifique $x \sec (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.1.1

Reescreva $\sec (y)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = x \frac{1}{\cos (y)}$

Etapa 2.12.1.2

Combine $x$ e $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = \frac{x}{\cos (y)}$

Etapa 2.13

Multiplique os dois lados da equação por $\cos (y)$ .

$\cos (y) \frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

Etapa 2.14

Cancele o fator comum de $\cos (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.1

Cancele o fator comum.

$\cos (y) \frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

Etapa 2.14.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

Etapa 2.15

Cancele o fator comum de $\cos (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

Etapa 2.15.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = x$

Etapa 2.16

Multiplique os dois lados por $1 + \sin (2 y)$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} (1 + \sin (2 y)) = x (1 + \sin (2 y))$

Etapa 2.17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.17.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.17.1.1

Cancele o fator comum de $1 + \sin (2 y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.17.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} (1 + \sin (2 y)) = x (1 + \sin (2 y))$

Etapa 2.17.1.1.2

Reescreva a expressão.

${(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x (1 + \sin (2 y))$

Etapa 2.17.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.17.2.1

Simplifique $x (1 + \sin (2 y))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.17.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x \cdot 1 + x \sin (2 y)$

Etapa 2.17.2.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

${(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.1.1

Simplifique ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.1.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + {(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.2

Reescreva ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ como $(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y))$ .

$(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.3

Expanda $(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (y) (\sin (y) + \cos (y)) + \cos (y) (\sin (y) + \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) (\sin (y) + \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.1.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.1.1.4.1.1

Multiplique $\sin (y) \sin (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.1.1.4.1.1.1

Eleve $\sin (y)$ à potência de $1$ .

$\sin^{1} (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.4.1.1.2

Eleve $\sin (y)$ à potência de $1$ .

$\sin^{1} (y) \sin^{1} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.4.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\sin (y)}^{1 + 1} + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.4.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.4.1.2

Multiplique $\cos (y) \cos (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.1.1.4.1.2.1

Eleve $\cos (y)$ à potência de $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.4.1.2.2

Eleve $\cos (y)$ à potência de $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (y) \cos^{1} (y) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.4.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + {\cos (y)}^{1 + 1} = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.4.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.4.2

Reordene os fatores de $\sin (y) \cos (y)$ .

$\sin^{2} (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.4.3

Some $\cos (y) \sin (y)$ e $\cos (y) \sin (y)$ .

$\sin^{2} (y) + 2 \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.5

Mova $\cos^{2} (y)$ .

$\sin^{2} (y) + \cos^{2} (y) + 2 \cos (y) \sin (y) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 + 2 \cos (y) \sin (y) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.1.1.7.1

Reordene $2 \cos (y)$ e $\sin (y)$ .

$1 + \sin (y) (2 \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.7.2

Reordene $\sin (y)$ e $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.1.1.7.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$1 + \sin (2 y) = x + x \sin (2 y)$

Etapa 2.18.2

Substitua $u$ por $\sin (2 y)$ .

$1 + u = x + x (u)$

Etapa 2.18.3

Subtraia $x u$ dos dois lados da equação.

$1 + u - x u = x$

Etapa 2.18.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u - x u = x - 1$

Etapa 2.18.5

Fatore $u$ de $u - x u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.5.1

Fatore $u$ de $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

Etapa 2.18.5.2

Fatore $u$ de $- x u$ .

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

Etapa 2.18.5.3

Fatore $u$ de $u \cdot 1 + u (- x)$ .

$u (1 - x) = x - 1$

Etapa 2.18.6

Divida cada termo em $u (1 - x) = x - 1$ por $1 - x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.6.1

Divida cada termo em $u (1 - x) = x - 1$ por $1 - x$ .

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Etapa 2.18.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.6.2.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Etapa 2.18.6.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Etapa 2.18.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.6.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

Etapa 2.18.6.3.2

Cancele o fator comum de $x - 1$ e $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.6.3.2.1

Fatore $- 1$ de $x$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

Etapa 2.18.6.3.2.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

Etapa 2.18.6.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

Etapa 2.18.6.3.2.4

Reordene os termos.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Etapa 2.18.6.3.2.5

Cancele o fator comum.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Etapa 2.18.6.3.2.6

Divida $- 1$ por $1$ .

$u = - 1$

Etapa 2.18.7

Substitua $\sin (2 y)$ por $u$ .

$\sin (2 y) = - 1$

Etapa 2.18.8

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do seno.

$2 y = \arcsin (- 1)$

Etapa 2.18.9

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.9.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$2 y = - \frac{π}{2}$

Etapa 2.18.10

Divida cada termo em $2 y = - \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.10.1

Divida cada termo em $2 y = - \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.18.10.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.10.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.10.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.18.10.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.18.10.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.10.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 2.18.10.3.2

Multiplique $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.10.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{2}$ .

$y = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.18.10.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = - \frac{π}{4}$

Etapa 2.18.11

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$2 y = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 2.18.12

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.12.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 y = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 2.18.12.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 y = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.18.12.3

Divida cada termo em $2 y = \frac{3 π}{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.12.3.1

Divida cada termo em $2 y = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.18.12.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.12.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.12.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.18.12.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.18.12.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.12.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 2.18.12.3.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.12.3.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.18.12.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.18.13

Encontre o período de $\sin (2 y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.13.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.18.13.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 2.18.13.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.18.13.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.13.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.18.13.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.18.14

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.14.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 2.18.14.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 2.18.14.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.14.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 2.18.14.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 2.18.14.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.14.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 2.18.14.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 2.18.14.5

Liste os novos ângulos.

$y = \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.18.15

O período da função $\sin (2 y)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ é o inverso de $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de $\frac{3 π}{4} + π n$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ não é igual ao intervalo de $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ não é um inverso de $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ .

Não há inverso

Etapa 5