Trigonometria Exemplos

${(y - 2)}^{2} = 3 (x + 1)$

Etapa 1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y - 2 = \pm \sqrt{3 (x + 1)}$

Etapa 2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y - 2 = \sqrt{3 (x + 1)}$

Etapa 2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Etapa 2.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y - 2 = - \sqrt{3 (x + 1)}$

Etapa 2.4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Etapa 2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Etapa 3

Alterne as variáveis. Crie uma equação para cada expressão.

$x = \sqrt{3 (y + 1)} + 2, x = - \sqrt{3 (y + 1)} + 2$

Etapa 4

Resolva $y$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$ .

$\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$

Etapa 4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{3 (y + 1)} = x - 2$

Etapa 4.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{3 (y + 1)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 4.4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 (y + 1)}$ como ${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.4.2.1

Simplifique ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 4.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 4.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(3 (y + 1))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 4.4.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(3 y + 3 \cdot 1)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 4.4.2.1.3

Simplifique.

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Etapa 4.4.2.1.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

${(3 y + 3)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 4.4.2.1.3.2

Simplifique.

$3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 4.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.4.3.1

Simplifique ${(x - 2)}^{2}$ .

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Etapa 4.4.3.1.1

Reescreva ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$3 y + 3 = (x - 2) (x - 2)$

Etapa 4.4.3.1.2

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.4.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y + 3 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Etapa 4.4.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Etapa 4.4.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.4.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.4.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 y + 3 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.4.3.1.3.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.4.3.1.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Etapa 4.4.3.1.3.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4$

Etapa 4.5

Resolva $y$ .

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Etapa 4.5.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.5.1.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$3 y = x^{2} - 4 x + 4 - 3$

Etapa 4.5.1.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$3 y = x^{2} - 4 x + 1$

Etapa 4.5.2

Divida cada termo em $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 4.5.2.1

Divida cada termo em $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 4.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 4.5.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 4.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.5.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 5

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 6

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Etapa 6.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ e $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ e os compare.

Etapa 6.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Etapa 6.2.1

Encontre o intervalo de $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Etapa 6.2.1.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[2, \infty)$

Etapa 6.2.2

Encontre o intervalo de $- \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Etapa 6.2.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 2]$

Etapa 6.2.3

Encontre a união de $[2, \infty), (- \infty, 2]$ .

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Etapa 6.2.3.1

A união consiste em todos os elementos contidos em cada intervalo.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 6.3

Encontre o domínio de $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Etapa 6.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{3 (x + 1)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$3 (x + 1) \geq 0$

Etapa 6.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.2.1

Divida cada termo em $3 (x + 1) \geq 0$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 6.3.2.1.1

Divida cada termo em $3 (x + 1) \geq 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Etapa 6.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.3.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Etapa 6.3.2.1.2.1.2

Divida $x + 1$ por $1$ .

$x + 1 \geq \frac{0}{3}$

Etapa 6.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x + 1 \geq 0$

Etapa 6.3.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 1$

Etapa 6.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 1, \infty)$

Etapa 6.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ é o intervalo de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ é o domínio de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 7