Trigonometria Exemplos

$\cos (\arcsin (7 x))$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \cos (\arcsin (7 y))$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\cos (\arcsin (7 y)) = x$ .

$\cos (\arcsin (7 y)) = x$

Etapa 2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $\arcsin (7 y)$ de dentro do cosseno.

$\arcsin (7 y) = \arccos (x)$

Etapa 2.3

Obtenha o arco seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco seno.

$7 y = \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.1

Simplifique $\sin (\arccos (x))$ .

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Etapa 2.4.1.1

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 2.4.1.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ e a origem. Então, $\arccos (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Portanto, $\sin (\arccos (x))$ é $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$7 y = \sqrt{1 - x^{2}}$

Etapa 2.4.1.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$7 y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Etapa 2.4.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.5

Divida cada termo em $7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ por $7$ e simplifique.

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Etapa 2.5.1

Divida cada termo em $7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ por $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 y}{7} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

Etapa 2.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ é o inverso de $f (x) = \cos (\arcsin (7 x))$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x)))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (\arcsin (7 x))) (1 - (\cos (\arcsin (7 x))))}}{7}$

Etapa 4.2.3

Remova os parênteses.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (\arcsin (7 x))) (1 - (\cos (\arcsin (7 x))))}}{7}$

Etapa 4.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.4.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 7 x)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $\arcsin (7 x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 7 x)$ . Portanto, $\cos (\arcsin (7 x))$ é $\sqrt{1 - {(7 x)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{1 - {(7 x)}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

Etapa 4.2.4.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = 7 x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - (7 x))}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

Etapa 4.2.4.4

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

Etapa 4.2.4.5

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{1 - {(7 x)}^{2}})}}{7}$

Etapa 4.2.4.6

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}})}}{7}$

Etapa 4.2.4.7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = 7 x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{(1 + 7 x) (1 - (7 x))})}}{7}$

Etapa 4.2.4.8

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)})}}{7}$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \cos (\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})))$

Etapa 4.3.3

Combine frações.

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Etapa 4.3.3.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ , $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ . Portanto, $\cos (\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})))$ é $\sqrt{1 - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{1 - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{1^{2} - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$

Etapa 4.3.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

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Etapa 4.3.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(\frac{7}{7} + \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Etapa 4.3.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Etapa 4.3.5.3

Reescreva $\frac{7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.3.5.3.1

Fatore $7$ de $7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Etapa 4.3.5.3.1.1

Fatore $7$ de $7$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 \cdot 1 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Etapa 4.3.5.3.1.2

Fatore $7$ de $7 \cdot 1 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Etapa 4.3.5.3.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.3.5.3.2.1

Reduza a expressão $\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Etapa 4.3.5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Etapa 4.3.5.3.2.2

Divida $1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Etapa 4.3.5.4

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 4.3.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Etapa 4.3.5.4.2

Divida $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ é o inverso de $f (x) = \cos (\arcsin (7 x))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$