Trigonometria Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ como uma equação.

$y = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y^{2} - 2 y - 35}{y^{2} + 9 y - 322}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{y^{2} - 2 y - 35}{y^{2} + 9 y - 322} = x$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 35}{y^{2} + 9 y - 322} = x$

Etapa 3.2

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $y^{2} - 2 y - 35$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 35$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 7, 5$

Etapa 3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{y^{2} + 9 y - 322} = x$

Etapa 3.2.2

Fatore $y^{2} + 9 y - 322$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 322$ e cuja soma é $9$ .

$- 14, 23$

Etapa 3.2.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} = x$

Etapa 3.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(y - 14) (y + 23), 1$

Etapa 3.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$(y - 14) (y + 23)$

Etapa 3.4

Multiplique cada termo em $\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} = x$ por $(y - 14) (y + 23)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} = x$ por $(y - 14) (y + 23)$ .

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} ((y - 14) (y + 23)) = x ((y - 14) (y + 23))$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $(y - 14) (y + 23)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} ((y - 14) (y + 23)) = x ((y - 14) (y + 23))$

Etapa 3.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$(y - 7) (y + 5) = x ((y - 14) (y + 23))$

Etapa 3.4.2.2

Expanda $(y - 7) (y + 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y (y + 5) - 7 (y + 5) = x ((y - 14) (y + 23))$

Etapa 3.4.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y \cdot y + y \cdot 5 - 7 (y + 5) = x ((y - 14) (y + 23))$

Etapa 3.4.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y \cdot y + y \cdot 5 - 7 y - 7 \cdot 5 = x ((y - 14) (y + 23))$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.4.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{2} + y \cdot 5 - 7 y - 7 \cdot 5 = x ((y - 14) (y + 23))$

Etapa 3.4.2.3.1.2

Mova $5$ para a esquerda de $y$ .

$y^{2} + 5 \cdot y - 7 y - 7 \cdot 5 = x ((y - 14) (y + 23))$

Etapa 3.4.2.3.1.3

Multiplique $- 7$ por $5$ .

$y^{2} + 5 y - 7 y - 35 = x ((y - 14) (y + 23))$

Etapa 3.4.2.3.2

Subtraia $7 y$ de $5 y$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x ((y - 14) (y + 23))$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Expanda $(y - 14) (y + 23)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y (y + 23) - 14 (y + 23))$

Etapa 3.4.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y \cdot y + y \cdot 23 - 14 (y + 23))$

Etapa 3.4.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y \cdot y + y \cdot 23 - 14 y - 14 \cdot 23)$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y^{2} + y \cdot 23 - 14 y - 14 \cdot 23)$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Mova $23$ para a esquerda de $y$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y^{2} + 23 \cdot y - 14 y - 14 \cdot 23)$

Etapa 3.4.3.2.1.3

Multiplique $- 14$ por $23$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y^{2} + 23 y - 14 y - 322)$

Etapa 3.4.3.2.2

Subtraia $14 y$ de $23 y$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y^{2} + 9 y - 322)$

Etapa 3.4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} - 2 y - 35 = x y^{2} + x (9 y) + x \cdot - 322$

Etapa 3.4.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y^{2} - 2 y - 35 = x y^{2} + 9 x y + x \cdot - 322$

Etapa 3.4.3.4.2

Mova $- 322$ para a esquerda de $x$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x y^{2} + 9 x y - 322 \cdot x$

$y^{2} - 2 y - 35 = x y^{2} + 9 x y - 322 x$

Etapa 3.5

Resolva a equação.

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Etapa 3.5.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.5.1.1

Subtraia $x y^{2}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 2 y - 35 - x y^{2} = 9 x y - 322 x$

Etapa 3.5.1.2

Subtraia $9 x y$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 2 y - 35 - x y^{2} - 9 x y = - 322 x$

Etapa 3.5.2

Some $322 x$ aos dois lados da equação.

$y^{2} - 2 y - 35 - x y^{2} - 9 x y + 322 x = 0$

Etapa 3.5.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5.4

Substitua os valores $a = 1 - x$ , $b = - 2 - 9 x$ e $c = - 35 + 322 x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- (- 2 - 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot ((1 - x) \cdot (- 35 + 322 x))}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 - (- 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 - (- 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.3

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.4

Reescreva ${(- 2 - 9 x)}^{2}$ como $(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x)$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.5

Expanda $(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 (- 2 - 9 x) - 9 x (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 9 x) - 9 x (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 9 x) - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.6.1.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 - 2 (- 9 x) - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.6.1.2

Multiplique $- 9$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.6.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 9$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.6.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 x \cdot x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.6.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.6.1.5.1

Mova $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 (x \cdot x)) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.6.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.6.1.6

Multiplique $- 9$ por $- 9$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x + 81 x^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.6.2

Some $18 x$ e $18 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.7

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x)) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.8

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 - 4 (- x)) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.9

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 + 4 x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.10

Expanda $(- 4 + 4 x) (- 35 + 322 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 (- 35 + 322 x) + 4 x (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot - 35 - 4 (322 x) + 4 x (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot - 35 - 4 (322 x) + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.11.1.1

Multiplique $- 4$ por $- 35$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 4 (322 x) + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.11.1.2

Multiplique $322$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.11.1.3

Multiplique $- 35$ por $4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.11.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 x \cdot x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.11.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.11.1.5.1

Mova $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 (x \cdot x))}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.11.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 x^{2})}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.11.1.6

Multiplique $4$ por $322$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.11.2

Subtraia $140 x$ de $- 1288 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1428 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.12

Some $4$ e $140$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{36 x + 81 x^{2} + 144 - 1428 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.13

Subtraia $1428 x$ de $36 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 1392 x + 81 x^{2} + 144 + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.14

Some $81 x^{2}$ e $1288 x^{2}$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 1392 x + 1369 x^{2} + 144}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.5.15

Reordene os termos.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.6

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 - (- 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 - (- 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.3

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.4

Reescreva ${(- 2 - 9 x)}^{2}$ como $(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x)$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.5

Expanda $(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 (- 2 - 9 x) - 9 x (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 9 x) - 9 x (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 9 x) - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1.6.1.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 - 2 (- 9 x) - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.6.1.2

Multiplique $- 9$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.6.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 9$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.6.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 x \cdot x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.6.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1.6.1.5.1

Mova $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 (x \cdot x)) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.6.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.6.1.6

Multiplique $- 9$ por $- 9$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x + 81 x^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.6.2

Some $18 x$ e $18 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x)) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.8

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 - 4 (- x)) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.9

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 + 4 x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.10

Expanda $(- 4 + 4 x) (- 35 + 322 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.5.7.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 (- 35 + 322 x) + 4 x (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot - 35 - 4 (322 x) + 4 x (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot - 35 - 4 (322 x) + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.5.7.1.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1.11.1.1

Multiplique $- 4$ por $- 35$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 4 (322 x) + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.11.1.2

Multiplique $322$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.11.1.3

Multiplique $- 35$ por $4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.11.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 x \cdot x)}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.11.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.7.1.11.1.5.1

Mova $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 (x \cdot x))}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.11.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 x^{2})}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.11.1.6

Multiplique $4$ por $322$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.11.2

Subtraia $140 x$ de $- 1288 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1428 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.12

Some $4$ e $140$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{36 x + 81 x^{2} + 144 - 1428 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.13

Subtraia $1428 x$ de $36 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 1392 x + 81 x^{2} + 144 + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.14

Some $81 x^{2}$ e $1288 x^{2}$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 1392 x + 1369 x^{2} + 144}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.1.15

Reordene os termos.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.7.2

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Etapa 3.5.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}] \cup [\frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$1369 x^{2} - 1392 x + 144 \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$1369 x^{2} - 1392 x + 144 = 0$

Etapa 5.3.2.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.3.2.3

Substitua os valores $a = 1369$ , $b = - 1392$ e $c = 144$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{1392 \pm \sqrt{{(- 1392)}^{2} - 4 \cdot (1369 \cdot 144)}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.4

Simplifique.

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Etapa 5.3.2.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.4.1.1

Eleve $- 1392$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 4 \cdot 1369 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1369 \cdot 144$ .

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Etapa 5.3.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 5476 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.4.1.2.2

Multiplique $- 5476$ por $144$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 788544}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.4.1.3

Subtraia $788544$ de $1937664$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1149120}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.4.1.4

Reescreva $1149120$ como $24^{2} \cdot 1995$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1.4.1

Fatore $576$ de $1149120$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{576 (1995)}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.4.1.4.2

Reescreva $576$ como $24^{2}$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{24^{2} \cdot 1995}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.4.2

Multiplique $2$ por $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$

Etapa 5.3.2.4.3

Simplifique $\frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$ .

$x = \frac{696 \pm 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Etapa 5.3.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 5.3.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.5.1.1

Eleve $- 1392$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 4 \cdot 1369 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1369 \cdot 144$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 5476 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.5.1.2.2

Multiplique $- 5476$ por $144$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 788544}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.5.1.3

Subtraia $788544$ de $1937664$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1149120}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.5.1.4

Reescreva $1149120$ como $24^{2} \cdot 1995$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.5.1.4.1

Fatore $576$ de $1149120$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{576 (1995)}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.5.1.4.2

Reescreva $576$ como $24^{2}$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{24^{2} \cdot 1995}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.5.2

Multiplique $2$ por $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$

Etapa 5.3.2.5.3

Simplifique $\frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$ .

$x = \frac{696 \pm 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Etapa 5.3.2.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Etapa 5.3.2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 5.3.2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.6.1.1

Eleve $- 1392$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 4 \cdot 1369 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1369 \cdot 144$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 5476 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.6.1.2.2

Multiplique $- 5476$ por $144$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 788544}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.6.1.3

Subtraia $788544$ de $1937664$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1149120}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.6.1.4

Reescreva $1149120$ como $24^{2} \cdot 1995$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.6.1.4.1

Fatore $576$ de $1149120$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{576 (1995)}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.6.1.4.2

Reescreva $576$ como $24^{2}$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{24^{2} \cdot 1995}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2 \cdot 1369}$

Etapa 5.3.2.6.2

Multiplique $2$ por $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$

Etapa 5.3.2.6.3

Simplifique $\frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$ .

$x = \frac{696 \pm 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Etapa 5.3.2.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Etapa 5.3.2.7

Consolide as soluções.

$x = \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}, \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Etapa 5.3.2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$

$\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$

$x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Etapa 5.3.2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.3.2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 5.3.2.9.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$1369 {(0)}^{2} - 1392 \cdot 0 + 144 \geq 0$

Etapa 5.3.2.9.1.3

O lado esquerdo $144$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 5.3.2.9.2

Teste um valor no intervalo $\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.51$

Etapa 5.3.2.9.2.2

Substitua $x$ por $0.51$ na desigualdade original.

$1369 {(0.51)}^{2} - 1392 \cdot 0.51 + 144 \geq 0$

Etapa 5.3.2.9.2.3

O lado esquerdo $- 209.8431$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 5.3.2.9.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 5.3.2.9.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$1369 {(3)}^{2} - 1392 \cdot 3 + 144 \geq 0$

Etapa 5.3.2.9.3.3

O lado esquerdo $8289$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 5.3.2.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Verdadeiro

$\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Falso

$x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Verdadeiro

$x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Verdadeiro

$\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Falso

$x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Verdadeiro

Etapa 5.3.2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ ou $x \geq \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Etapa 5.3.3

Defina o denominador em $\frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 (1 - x) = 0$

Etapa 5.3.4

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.4.1

Divida cada termo em $2 (1 - x) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.1

Divida cada termo em $2 (1 - x) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (1 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.4.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.4.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (1 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.4.1.2.1.2

Divida $1 - x$ por $1$ .

$1 - x = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.4.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.4.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$1 - x = 0$

Etapa 5.3.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 5.3.4.3

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.4.3.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.4.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.4.3.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.3.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 5.3.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}] \cup [\frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ não é igual ao intervalo de $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ não é um inverso de $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ .

Não há inverso

Etapa 6