Trigonometria Exemplos

$f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 1

Escreva $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ como uma equação.

$y = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$t = 40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55 = t$ .

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55 = t$

Etapa 3.2

Subtraia $55$ dos dois lados da equação.

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$ por $40$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$ por $40$ .

$\frac{40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})}{40} = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $40$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})}{40} = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 55$ e $40$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1.1

Fatore $5$ de $- 55$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 (- 11)}{40}$

Etapa 3.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1.2.1

Fatore $5$ de $40$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 \cdot - 11}{5 \cdot 8}$

Etapa 3.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 \cdot - 11}{5 \cdot 8}$

Etapa 3.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{- 11}{8}$

Etapa 3.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} - \frac{11}{8}$

Etapa 3.4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do seno.

$\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$

Etapa 3.5

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Combine $\frac{5 π}{4}$ e $y$ .

$\frac{5 π y}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$

Etapa 3.6

Some $\frac{π}{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{5 π y}{4} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2}$

Etapa 3.7

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{5 π}$ .

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Etapa 3.8

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Simplifique $\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Etapa 3.8.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Etapa 3.8.1.1.2

Cancele o fator comum de $5 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1.2.1

Fatore $5 π$ de $5 π y$ .

$\frac{1}{5 π} (5 π (y)) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Etapa 3.8.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Etapa 3.8.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Etapa 3.8.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Simplifique $\frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{4}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{4}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 3.8.2.1.2

Combine $\frac{4}{5 π}$ e $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{4}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 3.8.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2 (2)}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 3.8.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 3.8.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5 π} π$

Etapa 3.8.2.1.4

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1.4.1

Fatore $π$ de $5 π$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Etapa 3.8.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Etapa 3.8.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Etapa 3.9

Some $\frac{π}{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{5 π y}{4} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2}$

Etapa 3.10

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{5 π}$ .

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Etapa 3.11

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1

Simplifique $\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Etapa 3.11.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Etapa 3.11.1.1.2

Cancele o fator comum de $5 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1.2.1

Fatore $5 π$ de $5 π y$ .

$\frac{1}{5 π} (5 π (y)) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Etapa 3.11.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Etapa 3.11.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Etapa 3.11.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1

Simplifique $\frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1.1

Para escrever $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Etapa 3.11.2.1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1.2.1

Combine $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{4}{5 π} (\frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Etapa 3.11.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{4}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Etapa 3.11.2.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1.2.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 (2)}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Etapa 3.11.2.1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Etapa 3.11.2.1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{2}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π)$

Etapa 3.11.2.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + π)$

Etapa 3.11.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})) + \frac{2}{5 π} π$

Etapa 3.11.2.1.5

Multiplique $\frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1.5.1

Combine $2$ e $\frac{2}{5 π}$ .

$y = \frac{2 \cdot 2}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{2}{5 π} π$

Etapa 3.11.2.1.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{4}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{2}{5 π} π$

Etapa 3.11.2.1.5.3

Combine $\frac{4}{5 π}$ e $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5 π} π$

Etapa 3.11.2.1.6

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1.6.1

Fatore $π$ de $5 π$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Etapa 3.11.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Etapa 3.11.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Etapa 3.11.2.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1.7.1

Para escrever $- \frac{11}{8}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8} \cdot \frac{5}{5})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Etapa 3.11.2.1.7.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $40$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1.7.2.1

Multiplique $\frac{11}{8}$ por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11 \cdot 5}{8 \cdot 5})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Etapa 3.11.2.1.7.2.2

Multiplique $8$ por $5$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11 \cdot 5}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Etapa 3.11.2.1.7.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 11 \cdot 5}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Etapa 3.11.2.1.7.4

Multiplique $- 11$ por $5$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Etapa 3.11.2.1.8

Para escrever $\frac{2}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{π}{π}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2}{5} \cdot \frac{π}{π}$

Etapa 3.11.2.1.9

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $\frac{π}{π}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2 π}{5 π}$

Etapa 3.11.2.1.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 2 π}{5 π}$

Etapa 3.11.2.1.11

Fatore $2$ de $4 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 2 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1.11.1

Fatore $2$ de $4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 π}{5 π}$

Etapa 3.11.2.1.11.2

Fatore $2$ de $2 π$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 (π)}{5 π}$

Etapa 3.11.2.1.11.3

Fatore $2$ de $2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 (π)$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (t)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$ é o inverso de $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (t)) = t$ e $f (f^{- 1} (t)) = t$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (t))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (t))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{(40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $(40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) - 55$ e $40$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore $5$ de $40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 55 - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Etapa 5.2.3.2

Fatore $5$ de $55$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 5 (11) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Etapa 5.2.3.3

Fatore $5$ de $5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 5 (11)$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Etapa 5.2.3.4

Fatore $5$ de $- 55$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) + 5 (- 11)}{40}) + π)}{5 π}$

Etapa 5.2.3.5

Fatore $5$ de $5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) + 5 (- 11)$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{40}) + π)}{5 π}$

Etapa 5.2.3.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.6.1

Fatore $5$ de $40$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{5 (8)}) + π)}{5 π}$

Etapa 5.2.3.6.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{5 \cdot 8}) + π)}{5 π}$

Etapa 5.2.3.6.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11}{8}) + π)}{5 π}$

Etapa 5.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Combine $\frac{5 π}{4}$ e $t$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2}) + 11 - 11}{8}) + π)}{5 π}$

Etapa 5.2.4.2

Subtraia $11$ de $11$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2}) + 0}{8}) + π)}{5 π}$

Etapa 5.2.4.3

Some $8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})$ e $0$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})}{8}) + π)}{5 π}$

Etapa 5.2.5

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})}{8}) + π)}{5 π}$

Etapa 5.2.5.2

Divida $\sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})$ por $1$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})) + π)}{5 π}$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (t))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (t))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} \cdot (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $5 π$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{4} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2 (2)} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π) - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.1.4.1

Fatore $2$ de $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (\frac{t - 55}{40}))) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.1.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $π$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.1.6

Para escrever $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.1.7

Combine $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot 2}{2} + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot 2 + π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π - π}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.3

Combine os termos opostos em $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π - π$ .

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Etapa 5.3.3.3.1

Subtraia $π$ de $π$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 0}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.3.2

Some $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ e $0$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{2}) + 55$

Etapa 5.3.3.4.2

Divida $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ por $1$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 55$

Etapa 5.3.3.5

As funções seno e arco seno são inversos.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 (\frac{t - 55}{40}) + 55$

Etapa 5.3.3.6

Cancele o fator comum de $40$ .

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Etapa 5.3.3.6.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 (\frac{t - 55}{40}) + 55$

Etapa 5.3.3.6.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t - 55 + 55$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $t - 55 + 55$ .

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Etapa 5.3.4.1

Some $- 55$ e $55$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t + 0$

Etapa 5.3.4.2

Some $t$ e $0$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (t)) = t$ e $f (f^{- 1} (t)) = t$ , então, $f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$ é o inverso de $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ .

$f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$