Trigonometria Exemplos

$f (t) = 3 e^{0.1 t}$

Etapa 1

Escreva $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ como uma equação.

$y = 3 e^{0.1 t}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$t = 3 e^{0.1 y}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $3 e^{0.1 y} = t$ .

$3 e^{0.1 y} = t$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $3 e^{0.1 y} = t$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $3 e^{0.1 y} = t$ por $3$ .

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $e^{0.1 y}$ por $1$ .

$e^{0.1 y} = \frac{t}{3}$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{0.1 y}) = \ln (\frac{t}{3})$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $\ln (e^{0.1 y})$ movendo $0.1 y$ para fora do logaritmo.

$0.1 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{3})$

Etapa 3.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$0.1 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{3})$

Etapa 3.4.3

Multiplique $0.1$ por $1$ .

$0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ por $0.1$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ por $0.1$ .

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $0.1$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.3.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Etapa 3.5.3.2

Fatore $0.1$ de $0.1$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1 (1)}$

Etapa 3.5.3.3

Separe as frações.

$y = \frac{1}{0.1} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

Etapa 3.5.3.4

Divida $1$ por $0.1$ .

$y = 10 \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

Etapa 3.5.3.5

Divida $\ln (\frac{t}{3})$ por $1$ .

$y = 10 \ln (\frac{t}{3})$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ é o inverso de $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (t)) = t$ e $f (f^{- 1} (t)) = t$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (t))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (t))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (3 e^{0.1 t})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

Etapa 5.2.3.2

Divida $e^{0.1 t}$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (e^{0.1 t})$

Etapa 5.2.4

Use as regras logarítmicas para mover $0.1 t$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \ln (e))$

Etapa 5.2.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \cdot 1)$

Etapa 5.2.6

Multiplique $0.1$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t)$

Etapa 5.2.7

Multiplique $10 (0.1 t)$ .

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Etapa 5.2.7.1

Multiplique $0.1$ por $10$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 1 t$

Etapa 5.2.7.2

Multiplique $t$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = t$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (t))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (t))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (10 \ln (\frac{t}{3}))$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 (10 \ln (\frac{t}{3}))}$

Etapa 5.3.3

Simplifique $10 \ln (\frac{t}{3})$ movendo $10$ para dentro do logaritmo.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})}$

Etapa 5.3.4

Simplifique $0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})$ movendo $0.1$ para dentro do logaritmo.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{\ln ({({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1})}$

Etapa 5.3.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$

Etapa 5.3.6

Multiplique os expoentes em ${({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$ .

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Etapa 5.3.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {(\frac{t}{3})}^{10 \cdot 0.1}$

Etapa 5.3.6.2

Multiplique $10$ por $0.1$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.7.1

Cancele o fator comum.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

Etapa 5.3.7.2

Reescreva a expressão.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = t$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (t)) = t$ e $f (f^{- 1} (t)) = t$ , então, $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ é o inverso de $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ .

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$