Trigonometria Exemplos

$f (t) = - 16 t^{2} + 220$

Etapa 1

Escreva $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ como uma equação.

$y = - 16 t^{2} + 220$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$t = - 16 y^{2} + 220$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $- 16 y^{2} + 220 = t$ .

$- 16 y^{2} + 220 = t$

Etapa 3.2

Subtraia $220$ dos dois lados da equação.

$- 16 y^{2} = t - 220$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- 16 y^{2} = t - 220$ por $- 16$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- 16 y^{2} = t - 220$ por $- 16$ .

$\frac{- 16 y^{2}}{- 16} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 16$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 16 y^{2}}{- 16} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 220}{- 16}$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 220$ e $- 16$ .

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Etapa 3.3.3.1.2.1

Fatore $- 4$ de $- 220$ .

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 (55)}{- 16}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.3.1.2.2.1

Fatore $- 4$ de $- 16$ .

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 \cdot 55}{- 4 \cdot 4}$

Etapa 3.3.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 \cdot 55}{- 4 \cdot 4}$

Etapa 3.3.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{55}{4}$

Etapa 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4}}$

Etapa 3.5

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4}}$ .

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Etapa 3.5.1

Para escrever $\frac{55}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4} \cdot \frac{4}{4}}$

Etapa 3.5.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.5.2.1

Multiplique $\frac{55}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55 \cdot 4}{4 \cdot 4}}$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55 \cdot 4}{16}}$

Etapa 3.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{- t + 55 \cdot 4}{16}}$

Etapa 3.5.4

Multiplique $55$ por $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- t + 220}{16}}$

Etapa 3.5.5

Reescreva $\frac{- t + 220}{16}$ como ${(\frac{1}{4})}^{2} (- t + 220)$ .

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Etapa 3.5.5.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $- t + 220$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- t + 220)}{16}}$

Etapa 3.5.5.2

Fatore a potência perfeita $4^{2}$ de $16$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- t + 220)}{4^{2} \cdot 1}}$

Etapa 3.5.5.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (- t + 220)}{4^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (- t + 220)}$

Etapa 3.5.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1}{4} \sqrt{- t + 220}$

Etapa 3.5.7

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sqrt{- t + 220}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ é o inverso de $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ e $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 220]$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{- t + 220}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- t + 220 \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $t$ .

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Etapa 5.3.2.1

Subtraia $220$ dos dois lados da desigualdade.

$- t \geq - 220$

Etapa 5.3.2.2

Divida cada termo em $- t \geq - 220$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.2.1

Divida cada termo em $- t \geq - 220$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- t}{- 1} \leq \frac{- 220}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{t}{1} \leq \frac{- 220}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2.2

Divida $t$ por $1$ .

$t \leq \frac{- 220}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.3.1

Divida $- 220$ por $- 1$ .

$t \leq 220$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $t$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 220]$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ é o intervalo de $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ , e o intervalo de $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ é o domínio de $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ , então, $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ é o inverso de $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ .

$f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Etapa 6