Trigonometria Exemplos

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}))$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$ .

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$

Etapa 2.2

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})$ de dentro da cotangente.

$\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}) = arccot (x)$

Etapa 2.3

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$\sqrt{\frac{2}{y}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.1

Simplifique $\sqrt{\frac{2}{y}}$ .

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Etapa 2.4.1.1

Reescreva $\sqrt{\frac{2}{y}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.4.1.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.3.2

Eleve $\sqrt{y}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.3.3

Eleve $\sqrt{y}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

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Etapa 2.4.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{1}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.3.6.5

Simplifique.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(x, 1)$ , $(x, 0)$ e a origem. Então, $arccot (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(x, 1)$ . Portanto, $\tan (arccot (x))$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \frac{1}{x}$

Etapa 2.6

Calcule a regra de três.

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Etapa 2.6.1

Calcule a regra de três definindo o produto do numerador do lado direito e o denominador do lado esquerdo como igual ao produto do numerador do lado esquerdo e o denominador do lado direito.

$1 \cdot (y) = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

Etapa 2.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.6.2.1

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

Etapa 2.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.6.3.1

Multiplique $\sqrt{2 y}$ por $x$ .

$y = \sqrt{2 y} x$

Etapa 2.7

Reescreva a equação como $\sqrt{2 y} x = y$ .

$\sqrt{2 y} x = y$

Etapa 2.8

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(\sqrt{2 y} x)}^{2} = y^{2}$

Etapa 2.9

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 2.9.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 y}$ como ${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

Etapa 2.9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.9.2.1

Simplifique ${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2}$ .

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Etapa 2.9.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 y$ .

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

Etapa 2.9.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.9.2.1.2.1

Aplique a regra do produto a $2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x$ .

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Etapa 2.9.2.1.2.2

Aplique a regra do produto a $2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Etapa 2.9.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.9.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Etapa 2.9.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.9.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Etapa 2.9.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$2^{1} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Etapa 2.9.2.1.4

Avalie o expoente.

$2 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Etapa 2.9.2.1.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.9.2.1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

Etapa 2.9.2.1.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.9.2.1.5.2.1

Cancele o fator comum.

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

Etapa 2.9.2.1.5.2.2

Reescreva a expressão.

$2 y^{1} x^{2} = y^{2}$

Etapa 2.9.2.1.6

Simplifique.

$2 y x^{2} = y^{2}$

Etapa 2.10

Resolva $y$ .

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Etapa 2.10.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 y x^{2} - y^{2} = 0$

Etapa 2.10.2

Fatore $y$ de $2 y x^{2} - y^{2}$ .

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Etapa 2.10.2.1

Fatore $y$ de $2 y x^{2}$ .

$y (2 x^{2}) - y^{2} = 0$

Etapa 2.10.2.2

Fatore $y$ de $- y^{2}$ .

$y (2 x^{2}) + y (- y) = 0$

Etapa 2.10.2.3

Fatore $y$ de $y (2 x^{2}) + y (- y)$ .

$y (2 x^{2} - y) = 0$

Etapa 2.10.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y = 0$

$2 x^{2} - y = 0$

Etapa 2.10.4

Defina $y$ como igual a $0$ .

$y = 0$

Etapa 2.10.5

Defina $2 x^{2} - y$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 2.10.5.1

Defina $2 x^{2} - y$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} - y = 0$

Etapa 2.10.5.2

Resolva $2 x^{2} - y = 0$ para $y$ .

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Etapa 2.10.5.2.1

Subtraia $2 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- y = - 2 x^{2}$

Etapa 2.10.5.2.2

Divida cada termo em $- y = - 2 x^{2}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.10.5.2.2.1

Divida cada termo em $- y = - 2 x^{2}$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Etapa 2.10.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.10.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Etapa 2.10.5.2.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Etapa 2.10.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.10.5.2.2.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 2 x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (- 2 x^{2})$

Etapa 2.10.5.2.2.3.2

Reescreva $- 1 \cdot (- 2 x^{2})$ como $- (- 2 x^{2})$ .

$y = - (- 2 x^{2})$

Etapa 2.10.5.2.2.3.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y = 2 x^{2}$

Etapa 2.10.6

A solução final são todos os valores que tornam $y (2 x^{2} - y) = 0$ verdadeiro.

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ é o inverso de $f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ .

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Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ e $f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o domínio de $0$ .

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Etapa 4.2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4.3

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ não é igual ao intervalo de $f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ , então, $f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ não é um inverso de $f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ .

Não há inverso

Etapa 5