Trigonometria Exemplos

$\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}))$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$ .

$\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$

Etapa 2.2

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})$ de dentro da cotangente.

$\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}) = arccot (x)$

Etapa 2.3

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$\frac{y}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Simplifique $\frac{y}{\sqrt{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Multiplique $\frac{y}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.2.1

Multiplique $\frac{y}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.2.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{1}} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.4.1.2.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \tan (arccot (x))$

Etapa 2.5

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(x, 1)$ , $(x, 0)$ e a origem. Então, $arccot (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(x, 1)$ . Portanto, $\tan (arccot (x))$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{1}{x}$

Etapa 2.6

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{3}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Simplifique $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (y \sqrt{3}) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.1.1.2

Cancele o fator comum de $\sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1.2.1

Fatore $\sqrt{3}$ de $y \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Simplifique $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1.1

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.2.1.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1.2.1

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.2.1.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.2.1.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.2.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.2.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.2.1.2.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.2.1.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.2.1.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.2.1.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.2.1.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.2.1.2.6.5

Avalie o expoente.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.2.1.3.2

Divida $\sqrt{3}$ por $1$ .

$y = \sqrt{3} \frac{1}{x}$

Etapa 2.7.2.1.4

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{x}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ é o inverso de $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}})))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Etapa 4.2.3

Separe as frações.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Etapa 4.2.4

Reescreva $\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ em termos de senos e cossenos.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}}$

Etapa 4.2.5

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Etapa 4.2.6

Converta de $\frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ em $\tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Etapa 4.2.7

Divida $\sqrt{3}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Etapa 4.2.8

As funções tangente e arco tangente são inversos.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Etapa 4.2.9

Cancele o fator comum de $\sqrt{3}$ .

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Etapa 4.2.9.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Etapa 4.2.9.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{\sqrt{3}}{x})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$

Etapa 4.3.3

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ . Portanto, $\cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$ é $\frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$

Etapa 4.3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = 1 (\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}})$

Etapa 4.3.5

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$

Etapa 4.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Etapa 4.3.7

Cancele o fator comum de $\sqrt{3}$ .

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Etapa 4.3.7.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Etapa 4.3.7.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ é o inverso de $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$