Trigonometria Exemplos

$\cos (4 x) - \sin (4 x)$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \cos (4 y) - \sin (4 y)$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\cos (4 y) - \sin (4 y) = x$ .

$\cos (4 y) - \sin (4 y) = x$

Etapa 2.2

Use a fórmula para resolver a equação. Nesta fórmula, $θ$ representa o ângulo criado ao plotar o ponto $(a, b)$ em um gráfico e, portanto, pode ser encontrado usando $θ = \arctan (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ em que $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ e $θ = \arctan (\frac{b}{a})$

Etapa 2.3

Estabeleça a equação para encontrar o valor de $θ$ .

$\arctan (\frac{1}{- 1})$

Etapa 2.4

Obtenha a tangente inversa para resolver a equação de $θ$ .

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Etapa 2.4.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$θ = \arctan (- 1)$

Etapa 2.4.2

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Etapa 2.5

Resolva para encontrar o valor de $R$ .

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Etapa 2.5.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$R = \sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Etapa 2.5.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$R = \sqrt{1 + 1}$

Etapa 2.5.3

Some $1$ e $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Etapa 2.6

Substitua os valores conhecidos na equação.

$(\sqrt{2}) \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$

Etapa 2.7

Divida cada termo em $\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$ por $\sqrt{2}$ e simplifique.

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Etapa 2.7.1

Divida cada termo em $\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$ por $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.7.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{2}$ .

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Etapa 2.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.7.2.1.2

Divida $\sin (4 y - \frac{π}{4})$ por $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.7.3.1

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.7.3.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.7.3.2.1

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 2.7.3.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 2.7.3.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 2.7.3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.7.3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.7.3.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.7.3.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.7.3.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.7.3.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.7.3.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.7.3.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.7.3.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 2.7.3.2.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.8

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do seno.

$4 y - \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})$

Etapa 2.9

Some $\frac{π}{4}$ aos dois lados da equação.

$4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$

Etapa 2.10

Divida cada termo em $4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.10.1

Divida cada termo em $4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Etapa 2.10.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.10.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.10.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Etapa 2.10.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Etapa 2.10.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.10.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 2.10.3.1.2

Multiplique $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Etapa 2.10.3.1.2.1

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{4 \cdot 4}$

Etapa 2.10.3.1.2.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ é o inverso de $f (x) = \cos (4 x) - \sin (4 x)$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (\frac{(\cos (4 x) - \sin (4 x)) \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Etapa 4.2.3

Reordene os fatores em $\frac{\arcsin (\frac{(\cos (4 x) - \sin (4 x)) \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ .

$f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2} (\cos (4 x) - \sin (4 x))}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Etapa 4.3.3.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 4.3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Etapa 4.3.3.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.3.3.3.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 (4)})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Etapa 4.3.3.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 \cdot 4})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Etapa 4.3.3.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Etapa 4.3.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Etapa 4.3.3.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.3.3.5.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Etapa 4.3.3.5.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Etapa 4.3.3.6

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.3.3.6.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 (4)}))$

Etapa 4.3.3.6.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 \cdot 4}))$

Etapa 4.3.3.6.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4})$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ é o inverso de $f (x) = \cos (4 x) - \sin (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$