Trigonometria Exemplos

$f (x) = \sqrt{w - 1}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt{w - 1}$ como uma equação.

$y = \sqrt{w - 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$w = \sqrt{y - 1}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt{y - 1} = w$ .

$\sqrt{y - 1} = w$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y - 1}}^{2} = w^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y - 1}$ como ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = w^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = w^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = w^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y - 1)}^{1} = w^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

$y - 1 = w^{2}$

Etapa 3.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = w^{2} + 1$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (w)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (w) = w^{2} + 1$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (w) = w^{2} + 1$ é o inverso de $f (w) = \sqrt{w - 1}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (w)) = w$ e $f (f^{- 1} (w)) = w$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (w))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (w))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt{w - 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = {(\sqrt{w - 1})}^{2} + 1$

Etapa 5.2.3

Reescreva ${\sqrt{w - 1}}^{2}$ como $w - 1$ .

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Etapa 5.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{w - 1}$ como ${(w - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = {({(w - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Etapa 5.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = {(w - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Etapa 5.2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = {(w - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Etapa 5.2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = {(w - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Etapa 5.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = (w - 1) + 1$

Etapa 5.2.3.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = w - 1 + 1$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $w - 1 + 1$ .

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Etapa 5.2.4.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = w + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $w$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = w$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (w))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (w))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (w^{2} + 1)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (w^{2} + 1) = \sqrt{(w^{2} + 1) - 1}$

Etapa 5.3.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (w^{2} + 1) = \sqrt{w^{2} + 0}$

Etapa 5.3.4

Some $w^{2}$ e $0$ .

$f (w^{2} + 1) = \sqrt{w^{2}}$

Etapa 5.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (w^{2} + 1) = w$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (w)) = w$ e $f (f^{- 1} (w)) = w$ , então, $f^{- 1} (w) = w^{2} + 1$ é o inverso de $f (w) = \sqrt{w - 1}$ .

$f^{- 1} (w) = w^{2} + 1$