Trigonometria Exemplos

$f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ como uma equação.

$y = - \sqrt{49 - x^{2}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = - \sqrt{49 - y^{2}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $- \sqrt{49 - y^{2}} = x$ .

$- \sqrt{49 - y^{2}} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $- \sqrt{49 - y^{2}} = x$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $- \sqrt{49 - y^{2}} = x$ por $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{49 - y^{2}}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sqrt{49 - y^{2}}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Etapa 3.2.2.1.2

Escreva a expressão usando expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.2.1

Divida $\sqrt{49 - y^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{49 - y^{2}} = \frac{x}{- 1}$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$\sqrt{7^{2} - y^{2}} = \frac{x}{- 1}$

Etapa 3.2.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 7$ e $b = y$ .

$\sqrt{(7 + y) (7 - y)} = \frac{x}{- 1}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{(7 + y) (7 - y)} = - 1 \cdot x$

Etapa 3.2.3.2

Reescreva $- 1 \cdot x$ como $- x$ .

$\sqrt{(7 + y) (7 - y)} = - x$

Etapa 3.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{(7 + y) (7 - y)}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(7 + y) (7 - y)}$ como ${((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${({((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${((7 + y) (7 - y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Expanda $(7 + y) (7 - y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(7 (7 - y) + y (7 - y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(7 \cdot 7 + 7 (- y) + y (7 - y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

${(7 \cdot 7 + 7 (- y) + y \cdot 7 + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.4.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.3.1.1

Multiplique $7$ por $7$ .

${(49 + 7 (- y) + y \cdot 7 + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $7$ .

${(49 - 7 y + y \cdot 7 + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3.1.3

Mova $7$ para a esquerda de $y$ .

${(49 - 7 y + 7 \cdot y + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

${(49 - 7 y + 7 y - y \cdot y)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3.1.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.3.1.5.1

Mova $y$ .

${(49 - 7 y + 7 y - (y \cdot y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3.1.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

${(49 - 7 y + 7 y - y^{2})}^{1} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3.2

Some $- 7 y$ e $7 y$ .

${(49 + 0 - y^{2})}^{1} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3.3

Some $49$ e $0$ .

${(49 - y^{2})}^{1} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.4

Simplifique.

$49 - y^{2} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.3.1

Simplifique ${(- x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$49 - y^{2} = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Etapa 3.4.3.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$49 - y^{2} = 1 x^{2}$

Etapa 3.4.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$49 - y^{2} = x^{2}$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Subtraia $49$ dos dois lados da equação.

$- y^{2} = x^{2} - 49$

Etapa 3.5.2

Divida cada termo em $- y^{2} = x^{2} - 49$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.1

Divida cada termo em $- y^{2} = x^{2} - 49$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Etapa 3.5.2.2.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.2.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 49}{- 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y^{2} = - x^{2} + \frac{- 49}{- 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.3

Divida $- 49$ por $- 1$ .

$y^{2} = - x^{2} + 49$

Etapa 3.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 49}$

Etapa 3.5.4

Simplifique $\pm \sqrt{- x^{2} + 49}$ .

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Etapa 3.5.4.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.4.1.1

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 7^{2}}$

Etapa 3.5.4.1.2

Reordene $- x^{2}$ e $7^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{7^{2} - x^{2}}$

Etapa 3.5.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 7$ e $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Etapa 3.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Etapa 3.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Etapa 3.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ é o inverso de $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 7, 0]$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

Etapa 5.3.2.2

Defina $7 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Defina $7 + x$ como igual a $0$ .

$7 + x = 0$

Etapa 5.3.2.2.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 5.3.2.3

Defina $7 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Defina $7 - x$ como igual a $0$ .

$7 - x = 0$

Etapa 5.3.2.3.2

Resolva $7 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.2.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$- x = - 7$

Etapa 5.3.2.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 7$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 7$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.2.2.3.1

Divida $- 7$ por $- 1$ .

$x = 7$

Etapa 5.3.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 7, 7$

Etapa 5.3.2.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

Etapa 5.3.2.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.3.2.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.2.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 5.3.2.6.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

Etapa 5.3.2.6.1.3

O lado esquerdo $- 51$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 5.3.2.6.2

Teste um valor no intervalo $- 7 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.2.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 7 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 5.3.2.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

Etapa 5.3.2.6.2.3

O lado esquerdo $49$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 5.3.2.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 5.3.2.6.3.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

Etapa 5.3.2.6.3.3

O lado esquerdo $- 51$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 5.3.2.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

Etapa 5.3.2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 7 \leq x \leq 7$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 7, 7]$

Etapa 5.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ não é igual ao intervalo de $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ não é um inverso de $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ .

Não há inverso

Etapa 6