Trigonometria Exemplos

$f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ como uma equação.

$y = \sqrt{4 x^{2} + 3}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{4 y^{2} + 3}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt{4 y^{2} + 3} = x$ .

$\sqrt{4 y^{2} + 3} = x$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{4 y^{2} + 3}}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 y^{2} + 3}$ como ${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(4 y^{2} + 3)}^{1} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

$4 y^{2} + 3 = x^{2}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$4 y^{2} = x^{2} - 3$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $4 y^{2} = x^{2} - 3$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $4 y^{2} = x^{2} - 3$ por $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}$

Etapa 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}}$

Etapa 3.4.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}}$ .

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Etapa 3.4.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 3}{4}}$

Etapa 3.4.4.2

Reescreva $\frac{x^{2} - 3}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 3)$ .

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Etapa 3.4.4.2.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $x^{2} - 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{4}}$

Etapa 3.4.4.2.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{2^{2} \cdot 1}}$

Etapa 3.4.4.2.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 3)}$

Etapa 3.4.4.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 3}$

Etapa 3.4.4.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{x^{2} - 3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Etapa 3.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Etapa 3.4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Etapa 3.4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[\sqrt{3}, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x^{2} - 3}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} - 3 \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da desigualdade.

$x^{2} \geq 3$

Etapa 5.3.2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{3}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.3.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \geq \sqrt{3}$

Etapa 5.3.2.4

Escreva $| x | \geq \sqrt{3}$ em partes.

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Etapa 5.3.2.4.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 5.3.2.4.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \geq \sqrt{3}$

Etapa 5.3.2.4.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 5.3.2.4.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \geq \sqrt{3}$

Etapa 5.3.2.4.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Etapa 5.3.2.5

Encontre a intersecção de $x \geq \sqrt{3}$ e $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{3}$

Etapa 5.3.2.6

Divida cada termo em $- x \geq \sqrt{3}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.6.1

Divida cada termo em $- x \geq \sqrt{3}$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Etapa 5.3.2.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.6.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Etapa 5.3.2.6.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Etapa 5.3.2.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.6.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{3}$

Etapa 5.3.2.6.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$x \leq - \sqrt{3}$

Etapa 5.3.2.7

Encontre a união das soluções.

$x \leq - \sqrt{3}$ ou $x \geq \sqrt{3}$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$

Etapa 5.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ não é igual ao intervalo de $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ não é um inverso de $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

Não há inverso

Etapa 6