Trigonometria Exemplos

$f (x) = \log_{6} (2 x - 4)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \log_{6} (2 x - 4)$ como uma equação.

$y = \log_{6} (2 x - 4)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \log_{6} (2 y - 4)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\log_{6} (2 y - 4) = x$ .

$\log_{6} (2 y - 4) = x$

Etapa 3.2

Reescreva $\log_{6} (2 y - 4) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{x} = 2 y - 4$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $2 y - 4 = 6^{x}$ .

$2 y - 4 = 6^{x}$

Etapa 3.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$2 y = 6^{x} + 4$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $2 y = 6^{x} + 4$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $2 y = 6^{x} + 4$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{6^{x}}{2} + \frac{4}{2}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{6^{x}}{2} + \frac{4}{2}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{6^{x}}{2} + \frac{4}{2}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Divida $4$ por $2$ .

$y = \frac{6^{x}}{2} + 2$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{2} + 2$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{2} + 2$ é o inverso de $f (x) = \log_{6} (2 x - 4)$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{6^{\log_{6} (2 x - 4)}}{2} + 2$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 x - 4}{2} + 2$

Etapa 5.2.3.1.2

Fatore $2$ de $2 x - 4$ .

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 (x) - 4}{2} + 2$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 x + 2 \cdot - 2}{2} + 2$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 (x - 2)}{2} + 2$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 (x - 2)}{2} + 2$

Etapa 5.2.3.2.2

Divida $x - 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = x - 2 + 2$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x - 2 + 2$ .

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Etapa 5.2.4.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{6^{x}}{2} + 2)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (2 (\frac{6^{x}}{2} + 2) - 4)$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (2 (\frac{6^{x}}{2}) + 2 \cdot 2 - 4)$

Etapa 5.3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (2 (\frac{6^{x}}{2}) + 2 \cdot 2 - 4)$

Etapa 5.3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (6^{x} + 2 \cdot 2 - 4)$

Etapa 5.3.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (6^{x} + 4 - 4)$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $6^{x} + 4 - 4$ .

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Etapa 5.3.4.1

Subtraia $4$ de $4$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (6^{x} + 0)$

Etapa 5.3.4.2

Some $6^{x}$ e $0$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (6^{x})$

Etapa 5.3.5

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = x \log_{6} (6)$

Etapa 5.3.6

A base do logaritmo $6$ de $6$ é $1$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = x \cdot 1$

Etapa 5.3.7

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{2} + 2$ é o inverso de $f (x) = \log_{6} (2 x - 4)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{2} + 2$