Trigonometria Exemplos

$f (x) = \sqrt[5]{x - 3}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt[5]{x - 3}$ como uma equação.

$y = \sqrt[5]{x - 3}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt[5]{y - 3}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt[5]{y - 3} = x$ .

$\sqrt[5]{y - 3} = x$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $5$ ª potência.

${\sqrt[5]{y - 3}}^{5} = x^{5}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{y - 3}$ como ${(y - 3)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(y - 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(y - 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y - 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 3)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y - 3)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y - 3)}^{1} = x^{5}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

$y - 3 = x^{5}$

Etapa 3.4

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = x^{5} + 3$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = x^{5} + 3$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{5} + 3$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[5]{x - 3}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 3})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 3}) = {(\sqrt[5]{x - 3})}^{5} + 3$

Etapa 5.2.3

Reescreva ${\sqrt[5]{x - 3}}^{5}$ como $x - 3$ .

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Etapa 5.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{x - 3}$ como ${(x - 3)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 3}) = {({(x - 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5} + 3$

Etapa 5.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 3}) = {(x - 3)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 3$

Etapa 5.2.3.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 3}) = {(x - 3)}^{\frac{5}{5}} + 3$

Etapa 5.2.3.4

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 3}) = {(x - 3)}^{\frac{5}{5}} + 3$

Etapa 5.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 3}) = (x - 3) + 3$

Etapa 5.2.3.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 3}) = x - 3 + 3$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x - 3 + 3$ .

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Etapa 5.2.4.1

Some $- 3$ e $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 3}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 3}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (x^{5} + 3)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (x^{5} + 3) = \sqrt[5]{(x^{5} + 3) - 3}$

Etapa 5.3.3

Subtraia $3$ de $3$ .

$f (x^{5} + 3) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Etapa 5.3.4

Some $x^{5}$ e $0$ .

$f (x^{5} + 3) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Etapa 5.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f (x^{5} + 3) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{5} + 3$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[5]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{5} + 3$