Trigonometria Exemplos

$y = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \frac{\sqrt{2 y + 4}}{3}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} = x$ .

$\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} = x$

Etapa 2.2

Multiplique os dois lados por $3$ .

$\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Simplifique $\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Fatore $2$ de $2 y + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$\frac{\sqrt{2 (y) + 4}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Etapa 2.3.1.1.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{\sqrt{2 y + 2 \cdot 2}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Etapa 2.3.1.1.1.3

Fatore $2$ de $2 y + 2 \cdot 2$ .

$\frac{\sqrt{2 (y + 2)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Etapa 2.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2 (y + 2)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Etapa 2.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{2 (y + 2)} = x \cdot 3$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\sqrt{2 (y + 2)} = 3 x$

Etapa 2.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{2 (y + 2)}}^{2} = {(3 x)}^{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 (y + 2)}$ como ${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x)}^{2}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Simplifique ${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x)}^{2}$

Etapa 2.4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x)}^{2}$

Etapa 2.4.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(2 (y + 2))}^{1} = {(3 x)}^{2}$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(2 y + 2 \cdot 2)}^{1} = {(3 x)}^{2}$

Etapa 2.4.2.2.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

${(2 y + 4)}^{1} = {(3 x)}^{2}$

Etapa 2.4.2.2.1.3.2

Simplifique.

$2 y + 4 = {(3 x)}^{2}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1

Simplifique ${(3 x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1.1

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$2 y + 4 = 3^{2} x^{2}$

Etapa 2.4.2.3.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$2 y + 4 = 9 x^{2}$

Etapa 2.4.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$2 y = 9 x^{2} - 4$

Etapa 2.4.3.2

Divida cada termo em $2 y = 9 x^{2} - 4$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.1

Divida cada termo em $2 y = 9 x^{2} - 4$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

Etapa 2.4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

Etapa 2.4.3.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

Etapa 2.4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.3.1

Divida $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$ é o inverso de $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Fatore $2$ de $2 x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 (x) + 4}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 x + 2 \cdot 2}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.1.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 (x + 2)}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2 (x + 2)}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{\sqrt{2 (x + 2)}}^{2}}{3^{2}})}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.2.1

Reescreva ${\sqrt{2 (x + 2)}}^{2}$ como $2 (x + 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 (x + 2)}$ como ${(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{({(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.2.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.2.2.1.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3^{2}})}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.2.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 4}{3^{2}})}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.2.2.4

Fatore $2$ de $2 x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.2.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x) + 4}{3^{2}})}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.2.2.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3^{2}})}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.2.2.4.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{9})}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.3

Combine $9$ e $\frac{2 (x + 2)}{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9}}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.4

Multiplique $9$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{18 (x + 2)}{9}}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.5.1

Reduza a expressão $\frac{18 (x + 2)}{9}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.5.1.1

Fatore $9$ de $18 (x + 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9}}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.5.1.2

Fatore $9$ de $9$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9 (1)}}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.5.1.3

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9 \cdot 1}}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.5.1.4

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{2 (x + 2)}{1}}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.5.2

Divida $2 (x + 2)$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{2 (x + 2)}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.6.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{2 (x + 2)}{2} - 2$

Etapa 4.2.3.6.2

Divida $x + 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x + 2 - 2$

Etapa 4.2.4

Combine os termos opostos em $x + 2 - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x + 0$

Etapa 4.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 4}}{3}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $2$ de $2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 2 \cdot 2}}{3}$

Etapa 4.3.3.1.2

Fatore $2$ de $2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 2 \cdot 2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2 + 2)}}{3}$

Etapa 4.3.3.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} + 2)}}{3}$

Etapa 4.3.3.3

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + 2)}}{3}$

Etapa 4.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + 2)}}{3}$

Etapa 4.3.3.5

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}}{3}$

Etapa 4.3.3.6

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Etapa 4.3.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Etapa 4.3.3.8

Reordene os termos.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Etapa 4.3.3.9

Reescreva $\frac{9 x^{2} + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.9.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 4 - 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Etapa 4.3.3.9.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 4 - 4}{2})}}{3}$

Etapa 4.3.3.9.3

Subtraia $4$ de $4$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 0}{2})}}{3}$

Etapa 4.3.3.9.4

Some $9 x^{2}$ e $0$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2})}}{3}$

Etapa 4.3.3.10

Combine $2$ e $\frac{9 x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2}}}{3}$

Etapa 4.3.3.11

Multiplique $2$ por $9$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{18 x^{2}}{2}}}{3}$

Etapa 4.3.3.12

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.12.1

Reduza a expressão $\frac{18 x^{2}}{2}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.12.1.1

Fatore $2$ de $18 x^{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2}}}{3}$

Etapa 4.3.3.12.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2 (1)}}}{3}$

Etapa 4.3.3.12.1.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2 \cdot 1}}}{3}$

Etapa 4.3.3.12.1.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{1}}}{3}$

Etapa 4.3.3.12.2

Divida $9 x^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{9 x^{2}}}{3}$

Etapa 4.3.3.13

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2}}}{3}$

Etapa 4.3.3.14

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Etapa 4.3.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$ é o inverso de $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$