Trigonometria Exemplos

$k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$

Etapa 1

Escreva $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ como uma equação.

$y = \sqrt{2 x^{2} + 5}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{2 y^{2} + 5}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt{2 y^{2} + 5} = x$ .

$\sqrt{2 y^{2} + 5} = x$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{2 y^{2} + 5}}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 y^{2} + 5}$ como ${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(2 y^{2} + 5)}^{1} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

$2 y^{2} + 5 = x^{2}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 y^{2} = x^{2} - 5$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $2 y^{2} = x^{2} - 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $2 y^{2} = x^{2} - 5$ por $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}$

Etapa 3.4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}}$

Etapa 3.4.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}}$ .

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Etapa 3.4.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 5}{2}}$

Etapa 3.4.4.2

Reescreva $\sqrt{\frac{x^{2} - 5}{2}}$ como $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.4.4.3

Multiplique $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.4.4.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.4.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.4.4.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.4.4.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.4.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.4.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.4.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.4.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.4.4.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} - 5) \cdot 2}}{2}$

Etapa 3.4.4.6

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} - 5) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Etapa 3.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Etapa 3.4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Etapa 3.4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $k^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Etapa 5

Verifique se $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ é o inverso de $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ e $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[\sqrt{5}, \infty)$

Etapa 5.3

Find the domain of the inverse.

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Etapa 5.3.1

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ .

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Etapa 5.3.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{2 (x^{2} - 5)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 (x^{2} - 5) \geq 0$

Etapa 5.3.1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.1.2.1

Simplifique $2 (x^{2} - 5)$ .

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Etapa 5.3.1.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 2 \cdot - 5 \geq 0$

Etapa 5.3.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$2 x^{2} - 10 \geq 0$

Etapa 5.3.1.2.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = - \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Etapa 5.3.1.2.3

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \sqrt{5}$

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$

$x > \sqrt{5}$

Etapa 5.3.1.2.4

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.3.1.2.4.1

Teste um valor no intervalo $x < - \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.1.2.4.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 5$

Etapa 5.3.1.2.4.1.2

Substitua $x$ por $- 5$ na desigualdade original.

$2 ({(- 5)}^{2} - 5) \geq 0$

Etapa 5.3.1.2.4.1.3

O lado esquerdo $40$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.3.1.2.4.2

Teste um valor no intervalo $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.1.2.4.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 5.3.1.2.4.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 ({(0)}^{2} - 5) \geq 0$

Etapa 5.3.1.2.4.2.3

O lado esquerdo $- 10$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.3.1.2.4.3

Teste um valor no intervalo $x > \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.1.2.4.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 5.3.1.2.4.3.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$2 ({(5)}^{2} - 5) \geq 0$

Etapa 5.3.1.2.4.3.3

O lado esquerdo $40$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.3.1.2.4.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \sqrt{5}$ Verdadeiro

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ Falso

$x > \sqrt{5}$ Verdadeiro

$x < - \sqrt{5}$ Verdadeiro

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ Falso

$x > \sqrt{5}$ Verdadeiro

Etapa 5.3.1.2.5

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - \sqrt{5}$ ou $x \geq \sqrt{5}$

Etapa 5.3.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

Etapa 5.3.2

Encontre a união de $(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty), (- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$ .

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Etapa 5.3.2.1

A união consiste em todos os elementos contidos em cada intervalo.

$(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

Etapa 5.4

Como o domínio de $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ não é igual ao intervalo de $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ , então, $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ não é um inverso de $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ .

Não há inverso

Etapa 6