Trigonometria Exemplos

$\sec (\arctan (\frac{x}{3}))$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \sec (\arctan (\frac{y}{3}))$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\sec (\arctan (\frac{y}{3})) = x$ .

$\sec (\arctan (\frac{y}{3})) = x$

Etapa 2.2

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $\arctan (\frac{y}{3})$ de dentro da secante.

$\arctan (\frac{y}{3}) = arcsec (x)$

Etapa 2.3

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$\frac{y}{3} = \tan (arcsec (x))$

Etapa 2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.1

Simplifique $\tan (arcsec (x))$ .

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Etapa 2.4.1.1

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 2.4.1.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \sqrt{x^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $arcsec (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \sqrt{x^{2} - 1^{2}})$ . Portanto, $\tan (arcsec (x))$ é $\sqrt{x^{2} - 1}$ .

$\frac{y}{3} = \sqrt{x^{2} - 1}$

Etapa 2.4.1.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y}{3} = \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Etapa 2.4.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{y}{3} = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 2.5

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 2.6

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.6.1.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y}{3} = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 2.6.1.2

Reescreva a expressão.

$y = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ é o inverso de $f (x) = \sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3})))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{((\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) + 1) ((\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) - 1)}$

Etapa 4.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.3.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \frac{x}{3})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (\frac{x}{3})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \frac{x}{3})$ . Portanto, $\sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ é $\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Etapa 4.2.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Etapa 4.2.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Etapa 4.2.3.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Etapa 4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Etapa 4.2.5

Reescreva $\frac{9 + x^{2}}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ .

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Etapa 4.2.5.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $9 + x^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Etapa 4.2.5.2

Fatore a potência perfeita $3^{2}$ de $9$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Etapa 4.2.5.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Etapa 4.2.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 + x^{2}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Etapa 4.2.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $\sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Etapa 4.2.8

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + \frac{3}{3}) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Etapa 4.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Etapa 4.2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.10.1

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} - 1)}$

Etapa 4.2.10.2

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}} - 1)}$

Etapa 4.2.10.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}} - 1)}$

Etapa 4.2.10.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}} - 1)}$

Etapa 4.2.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}} - 1)}$

Etapa 4.2.12

Reescreva $\frac{9 + x^{2}}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ .

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Etapa 4.2.12.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $9 + x^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}} - 1)}$

Etapa 4.2.12.2

Fatore a potência perfeita $3^{2}$ de $9$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}} - 1)}$

Etapa 4.2.12.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})} - 1)}$

Etapa 4.2.13

Elimine os termos abaixo do radical.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 + x^{2}} - 1)}$

Etapa 4.2.14

Combine $\frac{1}{3}$ e $\sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} - 1)}$

Etapa 4.2.15

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}$

Etapa 4.2.16

Simplifique os termos.

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Etapa 4.2.16.1

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}$

Etapa 4.2.16.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 4.2.16.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 3}{3}}$

Etapa 4.2.16.4

Multiplique $\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3}$ por $\frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.16.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

Etapa 4.2.17

Expanda $(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} (\sqrt{9 + x^{2}} - 3) + 3 (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

Etapa 4.2.17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

Etapa 4.2.17.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Etapa 4.2.18

Simplifique os termos.

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Etapa 4.2.18.1

Combine os termos opostos em $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3$ .

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Etapa 4.2.18.1.1

Reorganize os fatores nos termos $\sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3$ e $3 \sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} - 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Etapa 4.2.18.1.2

Some $- 3 \sqrt{9 + x^{2}}$ e $3 \sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 0 + 3 \cdot - 3}{9}}$

Etapa 4.2.18.1.3

Some $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Etapa 4.2.18.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.18.2.1

Multiplique $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}$ .

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Etapa 4.2.18.2.1.1

Eleve $\sqrt{9 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Etapa 4.2.18.2.1.2

Eleve $\sqrt{9 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Etapa 4.2.18.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{1 + 1} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Etapa 4.2.18.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Etapa 4.2.18.2.2

Reescreva ${\sqrt{9 + x^{2}}}^{2}$ como $9 + x^{2}$ .

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Etapa 4.2.18.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{9 + x^{2}}$ como ${(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{({(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Etapa 4.2.18.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Etapa 4.2.18.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Etapa 4.2.18.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.18.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Etapa 4.2.18.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(9 + x^{2}) + 3 \cdot - 3}{9}}$

Etapa 4.2.18.2.2.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{9 + x^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Etapa 4.2.18.2.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{9 + x^{2} - 9}{9}}$

Etapa 4.2.18.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 4.2.18.3.1

Combine os termos opostos em $9 + x^{2} - 9$ .

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Etapa 4.2.18.3.1.1

Subtraia $9$ de $9$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2} + 0}{9}}$

Etapa 4.2.18.3.1.2

Some $x^{2}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

Etapa 4.2.18.3.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 4.2.19

Reescreva $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ como ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

Etapa 4.2.20

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 (\frac{x}{3})$

Etapa 4.2.21

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.21.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 (\frac{x}{3})$

Etapa 4.2.21.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sec (\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3}))$

Etapa 4.3.3

Simplifique cancelando o expoente com radical.

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Etapa 4.3.3.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ . Portanto, $\sec (\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3}))$ é $\sqrt{1 + {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ como $(x + 1) (x - 1)$ .

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Etapa 4.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ como ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.3.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.3.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.3.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.3.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + (x + 1) (x - 1)}$

Etapa 4.3.3.2.5

Simplifique.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + (x + 1) (x - 1)}$

Etapa 4.3.4

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x (x - 1) + 1 (x - 1)}$

Etapa 4.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}$

Etapa 4.3.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Etapa 4.3.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Etapa 4.3.5.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Etapa 4.3.5.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Etapa 4.3.5.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1}$

Etapa 4.3.5.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + x - 1}$

Etapa 4.3.5.2

Some $- x$ e $x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} + 0 - 1}$

Etapa 4.3.5.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1}$

Etapa 4.3.6

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Etapa 4.3.7

Some $x^{2}$ e $0$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{x^{2}}$

Etapa 4.3.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ é o inverso de $f (x) = \sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$