Trigonometria Exemplos

$f (x) = 5 x^{2} + x$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 5 x^{2} + x$ como uma equação.

$y = 5 x^{2} + x$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 5 y^{2} + y$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $5 y^{2} + y = x$ .

$5 y^{2} + y = x$

Etapa 3.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$5 y^{2} + y - x = 0$

Etapa 3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4

Substitua os valores $a = 5$ , $b = 1$ e $c = - x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (- x))}}{2 \cdot 5}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 5 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 3.5.1.2.2

Multiplique $- 20$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x}}{2 \cdot 5}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x}}{10}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 5 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 3.6.1.2.2

Multiplique $- 20$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x}}{2 \cdot 5}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x}}{10}$

Etapa 3.6.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 20 x}}{10}$

Etapa 3.6.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{1 + 20 x}}{10}$

Etapa 3.6.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{1 + 20 x}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{1 + 20 x})}{10}$

Etapa 3.6.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{1 + 20 x})$ .

$y = \frac{- 1 (1 - \sqrt{1 + 20 x})}{10}$

Etapa 3.6.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 20 x}}{10}$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 5 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 3.7.1.2.2

Multiplique $- 20$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x}}{2 \cdot 5}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x}}{10}$

Etapa 3.7.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 20 x}}{10}$

Etapa 3.7.4

Fatore $- 1$ de $- 1 - \sqrt{1 + 20 x}$ .

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Etapa 3.7.4.1

Reordene $1$ e $20 x$ .

$y = \frac{- 1 - \sqrt{20 x + 1}}{10}$

Etapa 3.7.4.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{20 x + 1}}{10}$

Etapa 3.7.4.3

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{20 x + 1}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{20 x + 1})}{10}$

Etapa 3.7.4.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (\sqrt{20 x + 1})$ .

$y = \frac{- 1 (1 + \sqrt{20 x + 1})}{10}$

Etapa 3.7.4.5

Reescreva $- 1 (1 + \sqrt{20 x + 1})$ como $- (1 + \sqrt{20 x + 1})$ .

$y = \frac{- (1 + \sqrt{20 x + 1})}{10}$

Etapa 3.7.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 1}}{10}$

Etapa 3.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 20 x}}{10}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 1}}{10}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 20 x}}{10}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 1}}{10}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 20 x}}{10}, - \frac{1 + \sqrt{20 x + 1}}{10}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 20 x}}{10}, - \frac{1 + \sqrt{20 x + 1}}{10}$ é o inverso de $f (x) = 5 x^{2} + x$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 5 x^{2} + x$ e $f^{- 1} (x) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 20 x}}{10}, - \frac{1 + \sqrt{20 x + 1}}{10}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 5 x^{2} + x$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- \frac{1}{20}, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $- \frac{1 - \sqrt{1 + 20 x}}{10}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{1 + 20 x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$1 + 20 x \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$20 x \geq - 1$

Etapa 5.3.2.2

Divida cada termo em $20 x \geq - 1$ por $20$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.2.1

Divida cada termo em $20 x \geq - 1$ por $20$ .

$\frac{20 x}{20} \geq \frac{- 1}{20}$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $20$ .

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Etapa 5.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20 x}{20} \geq \frac{- 1}{20}$

Etapa 5.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{20}$

Etapa 5.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x \geq - \frac{1}{20}$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- \frac{1}{20}, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = 5 x^{2} + x$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 20 x}}{10}, - \frac{1 + \sqrt{20 x + 1}}{10}$ é o intervalo de $f (x) = 5 x^{2} + x$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 20 x}}{10}, - \frac{1 + \sqrt{20 x + 1}}{10}$ é o domínio de $f (x) = 5 x^{2} + x$ , então, $f^{- 1} (x) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 20 x}}{10}, - \frac{1 + \sqrt{20 x + 1}}{10}$ é o inverso de $f (x) = 5 x^{2} + x$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 20 x}}{10}, - \frac{1 + \sqrt{20 x + 1}}{10}$

Etapa 6