Trigonometria Exemplos

$f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ como uma equação.

$y = 7 \arcsin (x^{2})$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 7 \arcsin (y^{2})$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $7 \arcsin (y^{2}) = x$ .

$7 \arcsin (y^{2}) = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $7 \arcsin (y^{2}) = x$ por $7$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $7 \arcsin (y^{2}) = x$ por $7$ .

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $\arcsin (y^{2})$ por $1$ .

$\arcsin (y^{2}) = \frac{x}{7}$

Etapa 3.3

Obtenha o arco seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco seno.

$y^{2} = \sin (\frac{x}{7})$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ é o inverso de $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- \frac{7 π}{2}, \frac{7 π}{2}]$

Etapa 5.3

Find the domain of the inverse.

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Etapa 5.3.1

Encontre o domínio de $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ .

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Etapa 5.3.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\sin (\frac{x}{7}) \geq 0$

Etapa 5.3.1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.1.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{x}{7} \geq \arcsin (0)$

Etapa 5.3.1.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{x}{7} \geq 0$

Etapa 5.3.1.2.3

Multiplique os dois lados por $7$ .

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Etapa 5.3.1.2.4

Simplifique.

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Etapa 5.3.1.2.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.2.4.1.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 5.3.1.2.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Etapa 5.3.1.2.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x \geq 0 \cdot 7$

Etapa 5.3.1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1.2.4.2.1

Multiplique $0$ por $7$ .

$x \geq 0$

Etapa 5.3.1.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{x}{7} = π - 0$

Etapa 5.3.1.2.6

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.1.2.6.1

Multiplique os dois lados da equação por $7$ .

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

Etapa 5.3.1.2.6.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.3.1.2.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.2.6.2.1.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 5.3.1.2.6.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

Etapa 5.3.1.2.6.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 7 (π - 0)$

Etapa 5.3.1.2.6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1.2.6.2.2.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = 7 π$

Etapa 5.3.1.2.7

Encontre o período de $\sin (\frac{x}{7})$ .

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Etapa 5.3.1.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.3.1.2.7.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{7}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{7} |}$

Etapa 5.3.1.2.7.3

$\frac{1}{7}$ é aproximadamente $0.\overline{142857}$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{7}}$

Etapa 5.3.1.2.7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 7$

Etapa 5.3.1.2.7.5

Multiplique $7$ por $2$ .

$14 π$

Etapa 5.3.1.2.8

O período da função $\sin (\frac{x}{7})$ é $14 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $14 π$ radianos nas duas direções.

$x = 14 π n, 7 π + 14 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.3.1.2.9

Consolide as respostas.

$x = 7 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.3.1.2.10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$0 < x < 7 π$

$7 π < x < 14 π$

Etapa 5.3.1.2.11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.3.1.2.11.1

Teste um valor no intervalo $0 < x < 7 π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.1.2.11.1.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 7 π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 5.3.1.2.11.1.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\sin (\frac{2}{7}) \geq 0$

Etapa 5.3.1.2.11.1.3

O lado esquerdo $0.28184285$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.3.1.2.11.2

Teste um valor no intervalo $7 π < x < 14 π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.1.2.11.2.1

Escolha um valor no intervalo $7 π < x < 14 π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 24$

Etapa 5.3.1.2.11.2.2

Substitua $x$ por $24$ na desigualdade original.

$\sin (\frac{24}{7}) \geq 0$

Etapa 5.3.1.2.11.2.3

O lado esquerdo $- 0.28305585$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.3.1.2.11.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$0 < x < 7 π$ Verdadeiro

$7 π < x < 14 π$ Falso

$0 < x < 7 π$ Verdadeiro

$7 π < x < 14 π$ Falso

Etapa 5.3.1.2.12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 + 14 π n \leq x \leq 7 π + 14 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.3.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

${x | x = 0 + 14 π n, x = 7 π + 14 π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.3.2

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Etapa 5.3.2.1

A união consiste em todos os elementos contidos em cada intervalo.

Nenhuma solução

Etapa 5.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ não é igual ao intervalo de $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ não é um inverso de $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

Não há inverso

Etapa 6