Trigonometria Exemplos

$f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ como uma equação.

$y = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 2 + \cos (\frac{π}{2} y)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $2 + \cos (\frac{π}{2} y) = x$ .

$2 + \cos (\frac{π}{2} y) = x$

Etapa 3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\cos (\frac{π}{2} y) = x - 2$

Etapa 3.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do cosseno.

$\frac{π}{2} y = \arccos (x - 2)$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Combine $\frac{π}{2}$ e $y$ .

$\frac{π y}{2} = \arccos (x - 2)$

Etapa 3.5

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2} = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Etapa 3.6

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.6.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.1.1

Simplifique $\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2}$ .

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Etapa 3.6.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2} = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Etapa 3.6.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π y) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Etapa 3.6.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 3.6.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π y$ .

$\frac{1}{π} (π (y)) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Etapa 3.6.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π y) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Etapa 3.6.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Etapa 3.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.6.2.1

Combine $\frac{2}{π}$ e $\arccos (x - 2)$ .

$y = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$ é o inverso de $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos ((2 + \cos (\frac{π}{2} x)) - 2)}{π}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1

Combine os termos opostos em $2 + \cos (\frac{π}{2} x) - 2$ .

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Etapa 5.2.3.1.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (0 + \cos (\frac{π}{2} x))}{π}$

Etapa 5.2.3.1.2

Some $0$ e $\cos (\frac{π}{2} x)$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (\cos (\frac{π}{2} x))}{π}$

Etapa 5.2.3.2

Combine $\frac{π}{2}$ e $x$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (\cos (\frac{π x}{2}))}{π}$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{π}{2} \cdot (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}))$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{π}{2} \cdot \frac{2 \arccos (x - 2)}{π})$

Etapa 5.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arccos (x - 2)))$

Etapa 5.3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2 \arccos (x - 2)$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arccos (x - 2))))$

Etapa 5.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arccos (x - 2)))$

Etapa 5.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\arccos (x - 2))$

Etapa 5.3.3.3

As funções cosseno e arco cosseno são inversos.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + x - 2$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $2 + x - 2$ .

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Etapa 5.3.4.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = x + 0$

Etapa 5.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$ é o inverso de $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$