Trigonometria Exemplos

$f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$ como uma equação.

$y = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 2 \sin^{3} (4 y + 1)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$ .

$2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$ por $2$ .

$\frac{2 \sin^{3} (4 y + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin^{3} (4 y + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $\sin^{3} (4 y + 1)$ por $1$ .

$\sin^{3} (4 y + 1) = \frac{x}{2}$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sin (4 y + 1) = \sqrt[3]{\frac{x}{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 3.4.3.2

Eleve $\sqrt[3]{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 3.4.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.4.3.4

Some $1$ e $2$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Etapa 3.4.3.5

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Etapa 3.4.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.4.3.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.4.3.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.3.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.3.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.3.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.4.3.5.5

Avalie o expoente.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Etapa 3.4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.4.1

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Etapa 3.4.4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{4}}{2}$

Etapa 3.4.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.4.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$

Etapa 3.4.5.2

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$

Etapa 3.5

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do seno.

$4 y + 1 = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})$

Etapa 3.6

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$4 y = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1$

Etapa 3.7

Divida cada termo em $4 y = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.7.1

Divida cada termo em $4 y = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} + \frac{- 1}{4}$

Etapa 3.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} + \frac{- 1}{4}$

Etapa 3.7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} + \frac{- 1}{4}$

Etapa 3.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$ é o inverso de $f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 (2 \sin^{3} (4 x + 1))}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{8 \sin^{3} (4 x + 1)}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.3.1.2

Reescreva $8 \sin^{3} (4 x + 1)$ como ${(2 \sin (4 x + 1))}^{3}$ .

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{{(2 \sin (4 x + 1))}^{3}}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (4 x + 1)}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (4 x + 1)}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.3.2.2

Divida $\sin (4 x + 1)$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\sin (4 x + 1))}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (4 (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) + 1)$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (4 (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1)$

Etapa 5.3.3.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (4 (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1)$

Etapa 5.3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1)$

Etapa 5.3.3.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1)$

Etapa 5.3.3.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1)$

Etapa 5.3.3.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1 + 1)$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1 + 1$ .

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Etapa 5.3.4.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 0)$

Etapa 5.3.4.2

Some $\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})$ e $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}))$

Etapa 5.3.5

As funções seno e arco seno são inversos.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}^{3}$

Etapa 5.3.6

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{\sqrt[3]{4 x}}^{3}}{2^{3}})$

Etapa 5.3.7

Reescreva ${\sqrt[3]{4 x}}^{3}$ como $4 x$ .

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Etapa 5.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{4 x}$ como ${(4 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Etapa 5.3.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Etapa 5.3.7.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Etapa 5.3.7.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.7.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Etapa 5.3.7.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2^{3}})$

Etapa 5.3.7.5

Simplifique.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2^{3}})$

Etapa 5.3.8

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{8})$

Etapa 5.3.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.9.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2 (4)})$

Etapa 5.3.9.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2 \cdot 4})$

Etapa 5.3.9.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 5.3.10

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.10.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 5.3.10.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$ é o inverso de $f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$