Trigonometria Exemplos

$y = \log_{4} (4 x)$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \log_{4} (4 y)$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\log_{4} (4 y) = x$ .

$\log_{4} (4 y) = x$

Etapa 2.2

Reescreva $\log_{4} (4 y) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{x} = 4 y$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $4 y = 4^{x}$ .

$4 y = 4^{x}$

Etapa 2.3.2

Divida cada termo em $4 y = 4^{x}$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Divida cada termo em $4 y = 4^{x}$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{4^{x}}{4}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4} = \frac{4^{x}}{4}$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{4^{x}}{4}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.3.1

Cancele o fator comum de $4^{x}$ e $4$ .

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Etapa 2.3.2.3.1.1

Fatore $4$ de $4^{x}$ .

$y = \frac{4 \cdot 4^{x - 1}}{4}$

Etapa 2.3.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.2.3.1.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$y = \frac{4 \cdot 4^{x - 1}}{4 (1)}$

Etapa 2.3.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{4 \cdot 4^{x - 1}}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.3.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{4^{x - 1}}{1}$

Etapa 2.3.2.3.1.2.4

Divida $4^{x - 1}$ por $1$ .

$y = 4^{x - 1}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \log_{4} (4 x)$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\log_{4} (4 x))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (4 x)) = 4^{(\log_{4} (4 x)) - 1}$

Etapa 4.2.3

Remova os parênteses.

$f^{- 1} (\log_{4} (4 x)) = 4^{\log_{4} (4 x) - 1}$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (4^{x - 1})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4 (4^{x - 1}))$

Etapa 4.3.3

Reescreva $\log_{4} (4 (4^{x - 1}))$ como $\log_{4} (4) + \log_{4} (4^{x - 1})$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + \log_{4} (4^{x - 1})$

Etapa 4.3.4

Use as regras logarítmicas para mover $x - 1$ para fora do expoente.

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + (x - 1) \log_{4} (4)$

Etapa 4.3.5

A base do logaritmo $4$ de $4$ é $1$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + (x - 1) \cdot 1$

Etapa 4.3.6

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + x - 1$

Etapa 4.3.7

A base do logaritmo $4$ de $4$ é $1$ .

$f (4^{x - 1}) = 1 + x - 1$

Etapa 4.3.8

Combine os termos opostos em $1 + x - 1$ .

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Etapa 4.3.8.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x + 0$

Etapa 4.3.8.2

Some $x$ e $0$ .

$f (4^{x - 1}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \log_{4} (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$