Trigonometria Exemplos

$y = \frac{2}{x - 1} + 1$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \frac{2}{y - 1} + 1$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\frac{2}{y - 1} + 1 = x$ .

$\frac{2}{y - 1} + 1 = x$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{2}{y - 1} = x - 1$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y - 1, 1, 1$

Etapa 2.3.2

Remova os parênteses.

$y - 1, 1, 1$

Etapa 2.3.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y - 1$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $\frac{2}{y - 1} = x - 1$ por $y - 1$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{y - 1} = x - 1$ por $y - 1$ .

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - (y - 1)$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - (y - 1)$

Etapa 2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$2 = x (y - 1) - (y - 1)$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 = x y + x \cdot - 1 - (y - 1)$

Etapa 2.4.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$2 = x y - 1 \cdot x - (y - 1)$

Etapa 2.4.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$2 = x y - x - (y - 1)$

Etapa 2.4.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 = x y - x - y - - 1$

Etapa 2.4.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 = x y - x - y + 1$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $x y - x - y + 1 = 2$ .

$x y - x - y + 1 = 2$

Etapa 2.5.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Some $x$ aos dois lados da equação.

$x y - y + 1 = 2 + x$

Etapa 2.5.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x y - y = 2 + x - 1$

Etapa 2.5.2.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$x y - y = x + 1$

Etapa 2.5.3

Fatore $y$ de $x y - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$y x - y = x + 1$

Etapa 2.5.3.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = x + 1$

Etapa 2.5.3.3

Fatore $y$ de $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x + 1$

Etapa 2.5.4

Divida cada termo em $y (x - 1) = x + 1$ por $x - 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Divida cada termo em $y (x - 1) = x + 1$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Etapa 2.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Etapa 2.5.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Etapa 2.5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{2}{x - 1} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(\frac{2}{x - 1} + 1) + 1}{(\frac{2}{x - 1} + 1) - 1}$

Etapa 4.2.3

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Multiplique $\frac{\frac{2}{x - 1} + 1 + 1}{\frac{2}{x - 1} + 1 - 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{2}{x - 1} + 1 + 1}{\frac{2}{x - 1} + 1 - 1}$

Etapa 4.2.3.2

Combine.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1} + 1 + 1)}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1} + 1 - 1)}$

Etapa 4.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.5

Simplifique cancelando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.5.1.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.5.2

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.5.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + x - 1 + (x - 1) \cdot 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + x - 1 + x - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{x + 1 + x - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6.4

Some $x$ e $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x + 1 - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6.5

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x + 0}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6.6

Some $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Etapa 4.2.7.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Etapa 4.2.7.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - 1 \cdot x + 1}$

Etapa 4.2.7.5

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - x + 1}$

Etapa 4.2.7.6

Subtraia $1$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{x + 1 - x + 1}$

Etapa 4.2.7.7

Subtraia $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

Etapa 4.2.7.8

Some $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{1 + 1}$

Etapa 4.2.7.9

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 4.2.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.8.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 4.2.8.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{x + 1}{x - 1})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1} + 1$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.3.1.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}} + 1$

Etapa 4.3.3.1.2

Combine $- 1$ e $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}} + 1$

Etapa 4.3.3.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}} + 1$

Etapa 4.3.3.1.4

Reescreva $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

Etapa 4.3.3.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

Etapa 4.3.3.1.4.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{0 + 1 + 1}{x - 1}} + 1$

Etapa 4.3.3.1.4.4

Some $0$ e $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{1 + 1}{x - 1}} + 1$

Etapa 4.3.3.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{2}{x - 1}} + 1$

Etapa 4.3.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Etapa 4.3.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Etapa 4.3.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x - 1 + 1$

Etapa 4.3.4

Combine os termos opostos em $x - 1 + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x + 0$

Etapa 4.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{2}{x - 1} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$