Trigonometria Exemplos

$y = \log_{2} (2 x - 3)$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \log_{2} (2 y - 3)$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\log_{2} (2 y - 3) = x$ .

$\log_{2} (2 y - 3) = x$

Etapa 2.2

Reescreva $\log_{2} (2 y - 3) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 2 y - 3$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $2 y - 3 = 2^{x}$ .

$2 y - 3 = 2^{x}$

Etapa 2.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 y = 2^{x} + 3$

Etapa 2.3.3

Divida cada termo em $2 y = 2^{x} + 3$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Divida cada termo em $2 y = 2^{x} + 3$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.3.1

Cancele o fator comum de $2^{x}$ e $2$ .

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Etapa 2.3.3.3.1.1

Fatore $2$ de $2^{x}$ .

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 (1)} + \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 \cdot 1} + \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{2^{x - 1}}{1} + \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.3.3.1.2.4

Divida $2^{x - 1}$ por $1$ .

$y = 2^{x - 1} + \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.3.3.2

Para escrever $2^{x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = 2^{x - 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.3.3.3

Combine $2^{x - 1}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2 + 3}{2}$

Etapa 2.3.3.3.5

Multiplique $2^{x - 1}$ por $2$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.3.3.5.1

Multiplique $2^{x - 1}$ por $2$ .

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Etapa 2.3.3.3.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2^{1} + 3}{2}$

Etapa 2.3.3.3.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{2^{x - 1 + 1} + 3}{2}$

Etapa 2.3.3.3.5.2

Combine os termos opostos em $x - 1 + 1$ .

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Etapa 2.3.3.3.5.2.1

Some $- 1$ e $1$ .

$y = \frac{2^{x + 0} + 3}{2}$

Etapa 2.3.3.3.5.2.2

Some $x$ e $0$ .

$y = \frac{2^{x} + 3}{2}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ é o inverso de $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2^{\log_{2} (2 x - 3)} + 3}{2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.3.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

Etapa 4.2.3.2

Some $- 3$ e $3$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Etapa 4.2.3.3

Some $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 4.2.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{2^{x} + 3}{2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 3 - 3)$

Etapa 4.3.4

Combine os termos opostos em $2^{x} + 3 - 3$ .

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Etapa 4.3.4.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 0)$

Etapa 4.3.4.2

Some $2^{x}$ e $0$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x})$

Etapa 4.3.5

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \log_{2} (2)$

Etapa 4.3.6

A base do logaritmo $2$ de $2$ é $1$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \cdot 1$

Etapa 4.3.7

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ é o inverso de $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$