Trigonometria Exemplos

$\tan (\arccos (5 x))$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \tan (\arccos (5 y))$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\tan (\arccos (5 y)) = x$ .

$\tan (\arccos (5 y)) = x$

Etapa 2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $\arccos (5 y)$ de dentro da tangente.

$\arccos (5 y) = \arctan (x)$

Etapa 2.3

Obtenha o arco cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco cosseno.

$5 y = \cos (\arctan (x))$

Etapa 2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Simplifique $\cos (\arctan (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, x)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, x)$ . Portanto, $\cos (\arctan (x))$ é $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$5 y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 2.4.1.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$5 y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 2.4.1.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 2.4.1.3.2

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 2.4.1.3.3

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Etapa 2.4.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.4.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Etapa 2.4.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.4.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.4.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.4.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.4.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Etapa 2.4.1.3.6.5

Simplifique.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Etapa 2.5

Divida cada termo em $5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 2.5.1

Divida cada termo em $5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{5}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{5}$

Etapa 2.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{5}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 2.5.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{(1 + x^{2}) \cdot 5}$

Etapa 2.5.3.3

Mova $5$ para a esquerda de $1 + x^{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$ é o inverso de $f (x) = \tan (\arccos (5 x))$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x)))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arccos (5 x))}}{5 (1 + \tan^{2} (\arccos (5 x)))}$

Etapa 4.2.3

Reorganize os termos.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{\tan^{2} (\arccos (5 x)) + 1}}{5 (1 + \tan^{2} (\arccos (5 x)))}$

Etapa 4.2.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (5 x))}}{5 (1 + \tan^{2} (\arccos (5 x)))}$

Etapa 4.2.5

Reorganize os termos.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (5 x))}}{5 (\tan^{2} (\arccos (5 x)) + 1)}$

Etapa 4.2.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (5 x))}}{5 \sec^{2} (\arccos (5 x))}$

Etapa 4.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.7.1

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sec (\arccos (5 x))}{5 \sec^{2} (\arccos (5 x))}$

Etapa 4.2.7.2

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(5 x, \sqrt{1^{2} - {(5 x)}^{2}})$ , $(5 x, 0)$ e a origem. Então, $\arccos (5 x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(5 x, \sqrt{1^{2} - {(5 x)}^{2}})$ . Portanto, $\sec (\arccos (5 x))$ é $\frac{1}{5 x}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 \sec^{2} (\arccos (5 x))}$

Etapa 4.2.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.8.1

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 {(\frac{1}{5 x})}^{2}}$

Etapa 4.2.8.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.2.8.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{5 x}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 (\frac{1^{2}}{{(5 x)}^{2}})}$

Etapa 4.2.8.2.2

Aplique a regra do produto a $5 x$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 (\frac{1^{2}}{5^{2} x^{2}})}$

Etapa 4.2.8.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 (\frac{1}{5^{2} x^{2}})}$

Etapa 4.2.8.4

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 (\frac{1}{25 x^{2}})}$

Etapa 4.2.9

Simplifique os termos.

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Etapa 4.2.9.1

Combine $5$ e $\frac{1}{25 x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{5}{25 x^{2}}}$

Etapa 4.2.9.2

Reduza a expressão $\frac{5}{25 x^{2}}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.2.9.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{5 (1)}{25 x^{2}}}$

Etapa 4.2.9.2.2

Fatore $5$ de $25 x^{2}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{5 (1)}{5 (5 x^{2})}}$

Etapa 4.2.9.2.3

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{5 \cdot 1}{5 (5 x^{2})}}$

Etapa 4.2.9.2.4

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{1}{5 x^{2}}}$

Etapa 4.2.10

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{1}{5 x} \cdot (5 x^{2})$

Etapa 4.2.11

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = 5 (\frac{1}{5 x}) \cdot x^{2}$

Etapa 4.2.12

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 4.2.12.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = 5 (\frac{1}{5 (x)}) \cdot x^{2}$

Etapa 4.2.12.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = 5 (\frac{1}{5 x}) \cdot x^{2}$

Etapa 4.2.12.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{1}{x} \cdot x^{2}$

Etapa 4.2.13

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.2.13.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{1}{x} \cdot (x \cdot x)$

Etapa 4.2.13.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{1}{x} \cdot (x \cdot x)$

Etapa 4.2.13.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \tan (\arccos (5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})))$

Etapa 4.3.3

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}), \sqrt{1^{2} - {(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}))}^{2}})$ , $(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}), 0)$ e a origem. Então, $\arccos (5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}))$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}), \sqrt{1^{2} - {(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}))}^{2}})$ . Portanto, $\tan (\arccos (5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})))$ é $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 4.3.5.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

Etapa 4.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Etapa 4.3.7

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Etapa 4.3.8

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(1 + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Etapa 4.3.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.9.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Etapa 4.3.9.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Etapa 4.3.9.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Etapa 4.3.9.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Etapa 4.3.10

Multiplique $\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ por $\frac{1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Etapa 4.3.11

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.11.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{1 + 1}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Etapa 4.3.11.2

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Etapa 4.3.12

Reescreva $\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ como ${(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.12.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Etapa 4.3.12.2

Fatore a potência perfeita ${(1 + x^{2})}^{2}$ de ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Etapa 4.3.12.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{{(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Etapa 4.3.13

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{1}{1 + x^{2}} \cdot (\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}))$

Etapa 4.3.14

Combine $\frac{1}{1 + x^{2}}$ e $\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 4.3.15

Cancele o fator comum de $1 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.15.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 4.3.15.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} (\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Etapa 4.3.16

Combine $\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}$ e $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 4.3.17

Multiplique $\frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 4.3.18

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.18.1

Multiplique $\frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 4.3.18.2

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 4.3.18.3

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 4.3.18.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.3.18.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Etapa 4.3.18.6

Reescreva ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

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Etapa 4.3.18.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.3.18.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.3.18.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.3.18.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.18.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.3.18.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Etapa 4.3.18.6.5

Simplifique.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Etapa 4.3.19

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})}}{1 + x^{2}}$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$ é o inverso de $f (x) = \tan (\arccos (5 x))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$