Trigonometria Exemplos

$x = y^{2} - 2 y$

Etapa 1

Reescreva a equação como $y^{2} - 2 y = x$ .

$y^{2} - 2 y = x$

Etapa 2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 2 y - x = 0$

Etapa 3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3

Fatore $4$ de $4 + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3.2

Fatore $4$ de $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.4

Reescreva $4 (1 + x)$ como $2^{2} (1^{2} + x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.4.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Etapa 6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.3

Fatore $4$ de $4 + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.3.2

Fatore $4$ de $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.4

Reescreva $4 (1 + x)$ como $2^{2} (1^{2} + x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.4.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Etapa 6.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Etapa 6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Etapa 7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.3

Fatore $4$ de $4 + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.3.2

Fatore $4$ de $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.4

Reescreva $4 (1 + x)$ como $2^{2} (1^{2} + x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.4.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Etapa 7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Etapa 8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Etapa 9

Alterne as variáveis. Crie uma equação para cada expressão.

$x = 1 + \sqrt{1 + y}, x = 1 - \sqrt{1 + y}$

Etapa 10

Resolva $y$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $1 + \sqrt{1 + y} = x$ .

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

Etapa 10.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

Etapa 10.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 10.4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 10.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + y}$ como ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1

Simplifique ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.2

Simplifique.

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 10.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.1

Simplifique ${(x - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.1.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

Etapa 10.4.3.1.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Etapa 10.4.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Etapa 10.4.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 10.4.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 10.4.3.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 10.4.3.1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 10.4.3.1.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Etapa 10.4.3.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

Etapa 10.4.3.1.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

Etapa 10.5

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Etapa 10.5.2

Combine os termos opostos em $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + 0$

Etapa 10.5.2.2

Some $x^{2} - 2 x$ e $0$ .

$y = x^{2} - 2 x$

Etapa 11

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Etapa 12

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ é o inverso de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ e $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ e os compare.

Etapa 12.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Encontre o intervalo de $1 + \sqrt{1 + x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[1, \infty)$

Etapa 12.2.2

Encontre o intervalo de $1 - \sqrt{1 + x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 1]$

Etapa 12.2.3

Encontre a união de $[1, \infty), (- \infty, 1]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

A união consiste em todos os elementos contidos em cada intervalo.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 12.3

Encontre o domínio de $1 + \sqrt{1 + x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{1 + x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$1 + x \geq 0$

Etapa 12.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 1$

Etapa 12.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 1, \infty)$

Etapa 12.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ é o intervalo de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ é o domínio de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ é o inverso de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Etapa 13