Trigonometria Exemplos

$y = 2 \ln (x - 5)$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = 2 \ln (y - 5)$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $2 \ln (y - 5) = x$ .

$2 \ln (y - 5) = x$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $2 \ln (y - 5) = x$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $2 \ln (y - 5) = x$ por $2$ .

$\frac{2 \ln (y - 5)}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \ln (y - 5)}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $\ln (y - 5)$ por $1$ .

$\ln (y - 5) = \frac{x}{2}$

Etapa 2.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y - 5)} = e^{\frac{x}{2}}$

Etapa 2.4

Reescreva $\ln (y - 5) = \frac{x}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{2}} = y - 5$

Etapa 2.5

Resolva $y$ .

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Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $y - 5 = e^{\frac{x}{2}}$ .

$y - 5 = e^{\frac{x}{2}}$

Etapa 2.5.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$y = e^{\frac{x}{2}} + 5$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$ é o inverso de $f (x) = 2 \ln (x - 5)$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (2 \ln (x - 5))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = e^{\frac{2 \ln (x - 5)}{2}} + 5$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = e^{\frac{2 \ln (x - 5)}{2}} + 5$

Etapa 4.2.3.1.2

Divida $\ln (x - 5)$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = e^{\ln (x - 5)} + 5$

Etapa 4.2.3.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = x - 5 + 5$

Etapa 4.2.4

Combine os termos opostos em $x - 5 + 5$ .

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Etapa 4.2.4.1

Some $- 5$ e $5$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = x + 0$

Etapa 4.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (e^{\frac{x}{2}} + 5)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 \ln ((e^{\frac{x}{2}} + 5) - 5)$

Etapa 4.3.3

Combine os termos opostos em $(e^{\frac{x}{2}} + 5) - 5$ .

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Etapa 4.3.3.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} + 0)$

Etapa 4.3.3.2

Some $e^{\frac{x}{2}}$ e $0$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

Etapa 4.3.4

Use as regras logarítmicas para mover $\frac{x}{2}$ para fora do expoente.

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Etapa 4.3.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

Etapa 4.3.6

Multiplique $\frac{x}{2}$ por $1$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Etapa 4.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.7.1

Cancele o fator comum.

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Etapa 4.3.7.2

Reescreva a expressão.

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$ é o inverso de $f (x) = 2 \ln (x - 5)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$