Trigonometria Exemplos

$y = 1 + 2 \arctan (x)$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = 1 + 2 \arctan (y)$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $1 + 2 \arctan (y) = x$ .

$1 + 2 \arctan (y) = x$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \arctan (y) = x - 1$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $2 \arctan (y) = x - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 \arctan (y) = x - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $\arctan (y)$ por $1$ .

$\arctan (y) = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\arctan (y) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 2.4

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$y = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ é o inverso de $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x)}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x) - 1}{2})$

Etapa 4.2.4

Combine os termos opostos em $1 + 2 \arctan (x) - 1$ .

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Etapa 4.2.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x) + 0}{2})$

Etapa 4.2.4.2

Some $2 \arctan (x)$ e $0$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

Etapa 4.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

Etapa 4.2.5.2

Divida $\arctan (x)$ por $1$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

Etapa 4.2.6

As funções tangente e arco tangente são inversos.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})) = 1 + 2 \arctan (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ é o inverso de $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$