Trigonometria Exemplos

$y = 3 + \sqrt{x - 4}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = 3 + \sqrt{y - 4}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $3 + \sqrt{y - 4} = x$ .

$3 + \sqrt{y - 4} = x$

Etapa 2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{y - 4} = x - 3$

Etapa 2.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y - 4}}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Etapa 2.4

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y - 4}$ como ${(y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique ${({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Etapa 2.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Etapa 2.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y - 4)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Etapa 2.4.2.1.2

Simplifique.

$y - 4 = {(x - 3)}^{2}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Simplifique ${(x - 3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1

Reescreva ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$y - 4 = (x - 3) (x - 3)$

Etapa 2.4.3.1.2

Expanda $(x - 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 4 = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Etapa 2.4.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 4 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Etapa 2.4.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 4 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Etapa 2.4.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y - 4 = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Etapa 2.4.3.1.3.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$y - 4 = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Etapa 2.4.3.1.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$y - 4 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Etapa 2.4.3.1.3.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$y - 4 = x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 2.5

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y = x^{2} - 6 x + 9 + 4$

Etapa 2.5.2

Some $9$ e $4$ .

$y = x^{2} - 6 x + 13$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 13$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 13$ é o inverso de $f (x) = 3 + \sqrt{x - 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = {(3 + \sqrt{x - 4})}^{2} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Reescreva ${(3 + \sqrt{x - 4})}^{2}$ como $(3 + \sqrt{x - 4}) (3 + \sqrt{x - 4})$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = (3 + \sqrt{x - 4}) (3 + \sqrt{x - 4}) - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3.2

Expanda $(3 + \sqrt{x - 4}) (3 + \sqrt{x - 4})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 3 (3 + \sqrt{x - 4}) + \sqrt{x - 4} (3 + \sqrt{x - 4}) - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 4} + \sqrt{x - 4} (3 + \sqrt{x - 4}) - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 4} + \sqrt{x - 4} \cdot 3 + \sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + \sqrt{x - 4} \cdot 3 + \sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3.3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{x - 4}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + \sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3.3.1.3

Multiplique $\sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1.3.1

Eleve $\sqrt{x - 4}$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + \sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3.3.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {\sqrt{x - 4}}^{1 + 1} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3.3.1.3.3

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {\sqrt{x - 4}}^{2} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3.3.1.4

Reescreva ${\sqrt{x - 4}}^{2}$ como $x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 4}$ como ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3.3.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3.3.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {(x - 4)}^{\frac{2}{2}} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3.3.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {(x - 4)}^{\frac{2}{2}} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3.3.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + x - 4 - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3.3.1.4.5

Simplifique.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + x - 4 - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3.3.2

Subtraia $4$ de $9$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + x - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3.3.3

Some $3 \sqrt{x - 4}$ e $3 \sqrt{x - 4}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + 6 \sqrt{x - 4} + x - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Etapa 4.2.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + 6 \sqrt{x - 4} + x - 6 \cdot 3 - 6 \sqrt{x - 4} + 13$

Etapa 4.2.3.5

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + 6 \sqrt{x - 4} + x - 18 - 6 \sqrt{x - 4} + 13$

Etapa 4.2.4

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Combine os termos opostos em $5 + 6 \sqrt{x - 4} + x - 18 - 6 \sqrt{x - 4} + 13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1.1

Subtraia $6 \sqrt{x - 4}$ de $6 \sqrt{x - 4}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + x - 18 + 0 + 13$

Etapa 4.2.4.1.2

Some $5 + x - 18$ e $0$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + x - 18 + 13$

Etapa 4.2.4.2

Subtraia $18$ de $5$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = x - 13 + 13$

Etapa 4.2.4.3

Combine os termos opostos em $x - 13 + 13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.3.1

Some $- 13$ e $13$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = x + 0$

Etapa 4.2.4.3.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (x^{2} - 6 x + 13)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + \sqrt{(x^{2} - 6 x + 13) - 4}$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Subtraia $4$ de $13$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + \sqrt{x^{2} - 6 x + 9}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + \sqrt{x^{2} - 6 x + 3^{2}}$

Etapa 4.3.3.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Etapa 4.3.3.2.3

Reescreva o polinômio.

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Etapa 4.3.3.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + \sqrt{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.3.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + x - 3$

Etapa 4.3.4

Combine os termos opostos em $3 + x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = x + 0$

Etapa 4.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 13$ é o inverso de $f (x) = 3 + \sqrt{x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 13$