Trigonometria Exemplos

$y = - 3 x^{2} + 12 x - 8$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = - 3 y^{2} + 12 y - 8$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $- 3 y^{2} + 12 y - 8 = x$ .

$- 3 y^{2} + 12 y - 8 = x$

Etapa 2.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$- 3 y^{2} + 12 y - 8 - x = 0$

Etapa 2.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4

Substitua os valores $a = - 3$ , $b = 12$ e $c = - 8 - x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 8 - x))}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 8 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot (- 8 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot - 8 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.4

Multiplique $12$ por $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 96 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.5

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 96 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.6

Subtraia $96$ de $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{48 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.7

Fatore $12$ de $48 - 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.7.1

Fatore $12$ de $48$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4) - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.7.2

Fatore $12$ de $- 12 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4) + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.7.3

Fatore $12$ de $12 (4) + 12 (- x)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.8

Reescreva $12 (4 - x)$ como $2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.8.1

Fatore $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (3) (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (4 - x))}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.8.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.8.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (2^{2} - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{- 6}$

Etapa 2.5.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{- 6}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 8 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot (- 8 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot - 8 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.4

Multiplique $12$ por $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 96 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 96 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.6

Subtraia $96$ de $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{48 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.7

Fatore $12$ de $48 - 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.7.1

Fatore $12$ de $48$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4) - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.7.2

Fatore $12$ de $- 12 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4) + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.7.3

Fatore $12$ de $12 (4) + 12 (- x)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.8

Reescreva $12 (4 - x)$ como $2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.8.1

Fatore $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (3) (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (4 - x))}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.8.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.8.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (2^{2} - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{- 6}$

Etapa 2.6.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{- 6}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

Etapa 2.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

Etapa 2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 8 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot (- 8 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot - 8 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.7.1.4

Multiplique $12$ por $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 96 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 96 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.7.1.6

Subtraia $96$ de $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{48 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.7.1.7

Fatore $12$ de $48 - 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.7.1

Fatore $12$ de $48$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4) - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.7.1.7.2

Fatore $12$ de $- 12 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4) + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.7.1.7.3

Fatore $12$ de $12 (4) + 12 (- x)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.7.1.8

Reescreva $12 (4 - x)$ como $2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.8.1

Fatore $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (3) (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.7.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (4 - x))}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.7.1.8.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.7.1.8.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.7.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (2^{2} - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.7.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.7.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{- 6}$

Etapa 2.7.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{- 6}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

Etapa 2.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

Etapa 2.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

$y = \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

$y = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

$y = \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$ é o inverso de $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 8$ e $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o intervalo de $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 4]$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de $\frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{3 (4 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$3 (4 - x) \geq 0$

Etapa 4.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Divida cada termo em $3 (4 - x) \geq 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Divida cada termo em $3 (4 - x) \geq 0$ por $3$ .

$\frac{3 (4 - x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (4 - x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Etapa 4.3.2.1.2.1.2

Divida $4 - x$ por $1$ .

$4 - x \geq \frac{0}{3}$

Etapa 4.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$4 - x \geq 0$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq - 4$

Etapa 4.3.2.3

Divida cada termo em $- x \geq - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Divida cada termo em $- x \geq - 4$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.3.2.3.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x \leq 4$

Etapa 4.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 4]$

Etapa 4.4

Encontre o domínio de $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$ é o intervalo de $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 8$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$ é o domínio de $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 8$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$ é o inverso de $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 8$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

Etapa 5