Trigonometria Exemplos

$y = \sqrt{x} - 3$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{y} - 3$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\sqrt{y} - 3 = x$ .

$\sqrt{y} - 3 = x$

Etapa 2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$\sqrt{y} = x + 3$

Etapa 2.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Etapa 2.4

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Etapa 2.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Etapa 2.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(x + 3)}^{2}$

Etapa 2.4.2.1.2

Simplifique.

$y = {(x + 3)}^{2}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Simplifique ${(x + 3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1

Reescreva ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$y = (x + 3) (x + 3)$

Etapa 2.4.3.1.2

Expanda $(x + 3) (x + 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x (x + 3) + 3 (x + 3)$

Etapa 2.4.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)$

Etapa 2.4.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Etapa 2.4.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Etapa 2.4.3.1.3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y = x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3$

Etapa 2.4.3.1.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = x^{2} + 3 x + 3 x + 9$

Etapa 2.4.3.1.3.2

Some $3 x$ e $3 x$ .

$y = x^{2} + 6 x + 9$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 9$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 9$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{x} - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt{x} - 3)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = {(\sqrt{x} - 3)}^{2} + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Reescreva ${(\sqrt{x} - 3)}^{2}$ como $(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} - 3)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = (\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} - 3) + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3.2

Expanda $(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} (\sqrt{x} - 3) - 3 (\sqrt{x} - 3) + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 (\sqrt{x} - 3) + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1.1

Multiplique $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1.1.1

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3.3.1.1.2

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3.3.1.2.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3.3.1.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 3 \cdot \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 3 \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} + 9 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3.3.2

Subtraia $3 \sqrt{x}$ de $- 3 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 6 \sqrt{x} + 9 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Etapa 4.2.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 6 \sqrt{x} + 9 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot - 3 + 9$

Etapa 4.2.3.5

Multiplique $6$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 6 \sqrt{x} + 9 + 6 \sqrt{x} - 18 + 9$

Etapa 4.2.4

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Combine os termos opostos em $x - 6 \sqrt{x} + 9 + 6 \sqrt{x} - 18 + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1.1

Some $- 6 \sqrt{x}$ e $6 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + 0 + 9 - 18 + 9$

Etapa 4.2.4.1.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + 9 - 18 + 9$

Etapa 4.2.4.2

Subtraia $18$ de $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 9 + 9$

Etapa 4.2.4.3

Combine os termos opostos em $x - 9 + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.3.1

Some $- 9$ e $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + 0$

Etapa 4.2.4.3.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (x^{2} + 6 x + 9)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{x^{2} + 6 x + 9} - 3$

Etapa 4.3.3

Remova os parênteses.

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{x^{2} + 6 x + 9} - 3$

Etapa 4.3.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{x^{2} + 6 x + 3^{2}} - 3$

Etapa 4.3.4.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Etapa 4.3.4.1.3

Reescreva o polinômio.

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} - 3$

Etapa 4.3.4.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 3$ .

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{{(x + 3)}^{2}} - 3$

Etapa 4.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (x^{2} + 6 x + 9) = x + 3 - 3$

Etapa 4.3.5

Combine os termos opostos em $x + 3 - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$f (x^{2} + 6 x + 9) = x + 0$

Etapa 4.3.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f (x^{2} + 6 x + 9) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 9$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{x} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 9$