Trigonometria Exemplos

$y = \csc (3 x) - 1$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \csc (3 y) - 1$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\csc (3 y) - 1 = x$ .

$\csc (3 y) - 1 = x$

Etapa 2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\csc (3 y) = x + 1$

Etapa 2.3

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro da cossecante.

$3 y = arccsc (x + 1)$

Etapa 2.4

Divida cada termo em $3 y = arccsc (x + 1)$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.4.1

Divida cada termo em $3 y = arccsc (x + 1)$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{3} = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Etapa 2.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$ é o inverso de $f (x) = \csc (3 x) - 1$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\csc (3 x) - 1)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc ((\csc (3 x) - 1) + 1)}{3}$

Etapa 4.2.3

Combine os termos opostos em $\csc (3 x) - 1 + 1$ .

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Etapa 4.2.3.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc (\csc (3 x) + 0)}{3}$

Etapa 4.2.3.2

Some $\csc (3 x)$ e $0$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc (\csc (3 x))}{3}$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{arccsc (x + 1)}{3})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (3 (\frac{arccsc (x + 1)}{3})) - 1$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (3 (\frac{arccsc (x + 1)}{3})) - 1$

Etapa 4.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (arccsc (x + 1)) - 1$

Etapa 4.3.3.2

As funções cossecante e arcossecante são inversas.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x + 1 - 1$

Etapa 4.3.4

Combine os termos opostos em $x + 1 - 1$ .

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Etapa 4.3.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x + 0$

Etapa 4.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$ é o inverso de $f (x) = \csc (3 x) - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$