Trigonometria Exemplos

$y = \sin (\sqrt{x}) + 2$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \sin (\sqrt{y}) + 2$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\sin (\sqrt{y}) + 2 = x$ .

$\sin (\sqrt{y}) + 2 = x$

Etapa 2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\sin (\sqrt{y}) = x - 2$

Etapa 2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do seno.

$\sqrt{y} = \arcsin (x - 2)$

Etapa 2.4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y}}^{2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Etapa 2.5

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.5.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.5.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.2

Simplifique.

$y = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$ é o inverso de $f (x) = \sin (\sqrt{x}) + 2$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2) = {\arcsin ((\sin (\sqrt{x}) + 2) - 2)}^{2}$

Etapa 4.2.3

Combine os termos opostos em $(\sin (\sqrt{x}) + 2) - 2$ .

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Etapa 4.2.3.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2) = {\arcsin (\sin (\sqrt{x}) + 0)}^{2}$

Etapa 4.2.3.2

Some $\sin (\sqrt{x})$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2) = {\arcsin (\sin (\sqrt{x}))}^{2}$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f ({\arcsin (x - 2)}^{2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x - 2)}^{2}}) + 2$

Etapa 4.3.3

Remova os parênteses.

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x - 2)}^{2}}) + 2$

Etapa 4.3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.4.1

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = \sin (\arcsin (x - 2)) + 2$

Etapa 4.3.4.2

As funções seno e arco seno são inversos.

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = x - 2 + 2$

Etapa 4.3.5

Combine os termos opostos em $x - 2 + 2$ .

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Etapa 4.3.5.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = x + 0$

Etapa 4.3.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$ é o inverso de $f (x) = \sin (\sqrt{x}) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$