Trigonometria Exemplos

$(3 x - 1) (x - 1) < 7$

Etapa 1

Simplifique $(3 x - 1) (x - 1)$ .

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Etapa 1.1

Expanda $(3 x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x (x - 1) - 1 (x - 1) < 7$

Etapa 1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (x - 1) < 7$

Etapa 1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Etapa 1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.1.1.1

Mova $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Etapa 1.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Etapa 1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 x^{2} - 3 x - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Etapa 1.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$3 x^{2} - 3 x - x - 1 \cdot - 1 < 7$

Etapa 1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 x - x + 1 < 7$

Etapa 1.2.2

Subtraia $x$ de $- 3 x$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 < 7$

Etapa 2

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 2.1

Subtraia $7$ dos dois lados da desigualdade.

$3 x^{2} - 4 x + 1 - 7 < 0$

Etapa 2.2

Subtraia $7$ de $1$ .

$3 x^{2} - 4 x - 6 < 0$

Etapa 3

Converta a desigualdade em uma equação.

$3 x^{2} - 4 x - 6 = 0$

Etapa 4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 4$ e $c = - 6$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 6)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 6}}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 6$ .

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Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 6}}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 6$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 72}}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.1.3

Some $16$ e $72$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.1.4

Reescreva $88$ como $2^{2} \cdot 22$ .

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Etapa 6.1.4.1

Fatore $4$ de $88$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$

Etapa 6.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{3}$

Etapa 7

Consolide as soluções.

$x = \frac{2 + \sqrt{22}}{3}, \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

$x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$(3 (- 3) - 1) ((- 3) - 1) < 7$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $40$ não é menor do que o lado direito $7$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(3 (0) - 1) ((0) - 1) < 7$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $1$ é menor do que o lado direito $7$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$(3 (5) - 1) ((5) - 1) < 7$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $56$ não é menor do que o lado direito $7$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ Falso

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Verdadeiro

$x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Falso

$x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ Falso

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Verdadeiro

$x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Falso

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

Notação de intervalo:

$(\frac{2 - \sqrt{22}}{3}, \frac{2 + \sqrt{22}}{3})$

Etapa 12