Trigonometria Exemplos

$\sin (x) - \cos (x) > 0$

Etapa 1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum.

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$\tan (x) - 1 > \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 4

Separe as frações.

$\tan (x) - 1 > \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 > \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 6

Divida $0$ por $1$ .

$\tan (x) - 1 > 0 \sec (x)$

Etapa 7

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 > 0$

Etapa 8

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$\tan (x) > 1$

Etapa 9

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x > \arctan (1)$

Etapa 10

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x > \frac{π}{4}$

Etapa 11

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 12

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 12.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 12.2

Combine frações.

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Etapa 12.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 12.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 12.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 12.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 13

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 13.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 13.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 13.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 13.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 14

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

Etapa 17

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 17.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 17.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 17.1.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\sin (2) - \cos (2) > 0$

Etapa 17.1.3

O lado esquerdo $1.32544426$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 17.2

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Verdadeiro

Etapa 18

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 19