Trigonometria Exemplos

$\log (\frac{50 x}{x + 2}) < 2$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\log (\frac{50 x}{x + 2}) = 2$

Etapa 2

Resolva a equação.

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Etapa 2.1

Reescreva $\log (\frac{50 x}{x + 2}) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{2} = \frac{50 x}{x + 2}$

Etapa 2.2

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$50 x = 10^{2} (x + 2)$

Etapa 2.3

Simplifique $10^{2} (x + 2)$ .

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Etapa 2.3.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$50 x = 100 (x + 2)$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$50 x = 100 x + 100 \cdot 2$

Etapa 2.3.3

Multiplique $100$ por $2$ .

$50 x = 100 x + 200$

Etapa 2.4

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.4.1

Subtraia $100 x$ dos dois lados da equação.

$50 x - 100 x = 200$

Etapa 2.4.2

Subtraia $100 x$ de $50 x$ .

$- 50 x = 200$

Etapa 2.5

Divida cada termo em $- 50 x = 200$ por $- 50$ e simplifique.

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Etapa 2.5.1

Divida cada termo em $- 50 x = 200$ por $- 50$ .

$\frac{- 50 x}{- 50} = \frac{200}{- 50}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 50$ .

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Etapa 2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 50 x}{- 50} = \frac{200}{- 50}$

Etapa 2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{200}{- 50}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.3.1

Divida $200$ por $- 50$ .

$x = - 4$

Etapa 3

Encontre o domínio de $\log (\frac{50 x}{x + 2}) - 2$ .

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\log (\frac{50 x}{x + 2})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{50 x}{x + 2} > 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$50 x = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $50 x = 0$ por $50$ e simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $50 x = 0$ por $50$ .

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $50$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{50}$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.3.1

Divida $0$ por $50$ .

$x = 0$

Etapa 3.2.3

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 3.2.4

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = - 2$

Etapa 3.2.5

Consolide as soluções.

$x = 0, - 2$

Etapa 3.2.6

Encontre o domínio de $\frac{50 x}{x + 2}$ .

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Etapa 3.2.6.1

Defina o denominador em $\frac{50 x}{x + 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 2 = 0$

Etapa 3.2.6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 3.2.6.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Etapa 3.2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 3.2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 3.2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 3.2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{50 (- 4)}{(- 4) + 2} > 0$

Etapa 3.2.8.1.3

O lado esquerdo $100$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 3.2.8.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1$

Etapa 3.2.8.2.2

Substitua $x$ por $- 1$ na desigualdade original.

$\frac{50 (- 1)}{(- 1) + 2} > 0$

Etapa 3.2.8.2.3

O lado esquerdo $- 50$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 3.2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 3.2.8.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{50 (2)}{(2) + 2} > 0$

Etapa 3.2.8.3.3

O lado esquerdo $25$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 3.2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

Etapa 3.2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 2$ ou $x > 0$

Etapa 3.3

Defina o denominador em $\frac{50 x}{x + 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 2 = 0$

Etapa 3.4

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 3.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 2) \cup (0, \infty)$

Etapa 4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 5.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\log (\frac{50 (- 6)}{(- 6) + 2}) < 2$

Etapa 5.1.3

O lado esquerdo $1.87506126$ é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 5.2.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$\log (\frac{50 (- 3)}{(- 3) + 2}) < 2$

Etapa 5.2.3

O lado esquerdo $2.17609125$ não é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.3

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1$

Etapa 5.3.2

Substitua $x$ por $- 1$ na desigualdade original.

$\log (\frac{50 (- 1)}{(- 1) + 2}) < 2$

Etapa 5.3.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

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Etapa 5.3.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.3.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.4

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 5.4.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\log (\frac{50 (2)}{(2) + 2}) < 2$

Etapa 5.4.3

O lado esquerdo $1.39794$ é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

$x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

Etapa 6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 4$ ou $x > 0$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - 4 or x > 0$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (0, \infty)$

Etapa 8