Trigonometria Exemplos

$(\sin (x)) (\cos (x)) > 0$

Etapa 1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

Etapa 2

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 2.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 2.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 2.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 3.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 3.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 3.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

A solução final são todos os valores que tornam $\sin (x) \cos (x) > 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$

Etapa 7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 7.1

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.1.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 7.1.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$(\sin (1)) (\cos (1)) > 0$

Etapa 7.1.3

O lado esquerdo $0.45464871$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.2

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 7.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$(\sin (2)) (\cos (2)) > 0$

Etapa 7.2.3

O lado esquerdo $- 0.37840124$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.3

Teste um valor no intervalo $π < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.3.1

Escolha um valor no intervalo $π < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 7.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$(\sin (4)) (\cos (4)) > 0$

Etapa 7.3.3

O lado esquerdo $0.49467912$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.4

Teste um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.4.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 7.4.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$(\sin (5)) (\cos (5)) > 0$

Etapa 7.4.3

O lado esquerdo $- 0.27201055$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{π}{2} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Falso

$0 < x < \frac{π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{π}{2} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Falso

Etapa 8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 + 2 π n < x < \frac{π}{2} + 2 π n$ ou $π + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Combine os intervalos.

$2 π n < x < \frac{π}{2} + 2 π n or π + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10