Trigonometria Exemplos

$\frac{1}{2} \cdot (\cot (x) + \tan (x)) = \csc (2 x)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot (\cot (x) + \tan (x))$ .

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Etapa 1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.1

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan (x)) = \csc (2 x)$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \csc (2 x)$

Etapa 1.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \csc (2 x)$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \csc (2 x)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} = \csc (2 x)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Reescreva $\csc (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} = \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}) = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 4

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (2 x) \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 5

Combine $\sin (2 x)$ e $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 6

Combine $\sin (2 x)$ e $\frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7.1.2

Combine expoentes.

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Etapa 7.1.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7.1.2.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7.3.2

Divida $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\cos^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) \cos (x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7.4.2

Combine expoentes.

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Etapa 7.4.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) + \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7.4.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) + \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7.4.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (x) + \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7.4.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.5.1

Cancele o fator comum.

$\cos^{2} (x) + \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7.5.2

Reescreva a expressão.

$\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7.6

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 7.6.1

Cancele o fator comum.

$\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 7.6.2

Divida $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 8

Reorganize os termos.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 9

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 10

Cancele o fator comum de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 10.1

Cancele o fator comum.

$1 = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 10.2

Reescreva a expressão.

$1 = 1$

Etapa 11

Como $1 = 1$ , a equação sempre será verdadeira para qualquer valor de $x$ .

Todos os números reais

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$