Trigonometria Exemplos

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} + 1 = 2 \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Reorganize os termos.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) + 1} + 1 = 2 \cos^{2} (x)$

Etapa 1.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} + 1 = 2 \cos^{2} (x)$

Etapa 1.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} + 1 = 2 \cos^{2} (x)$

Etapa 1.1.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)} + 1 = 2 \cos^{2} (x)$

Etapa 2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Subtraia $2 \cos^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sec^{2} (x)} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.2.2.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.4

Expanda $(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.5.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$(1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.5.1.2

Multiplique $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.5.1.3

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.5.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.5.1.5

Multiplique $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 2.2.5.1.5.1

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.5.1.5.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.5.1.5.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.5.1.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.5.1.5.5

Some $1$ e $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.5.1.5.6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.5.1.5.7

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.5.1.5.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.5.1.5.9

Some $1$ e $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.5.2

Some $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(1 + 0 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.5.3

Some $1$ e $0$ .

$(1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.6

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.7

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.8

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (x)$ .

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Etapa 2.2.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ para o numerador.

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.8.2

Cancele o fator comum.

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.8.3

Reescreva a expressão.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.9

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\cos (2 x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 3

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 4

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = - 1$

Etapa 4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) = - 1 - 1$

Etapa 5

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1

Simplifique $- 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)$ .

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Etapa 5.1.1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.1.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) = - 1 - 1$

Etapa 5.1.1.2

Fatore $- 2$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x)) = - 1 - 1$

Etapa 5.1.1.3

Fatore $- 2$ de $- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x))$ .

$- 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = - 1 - 1$

Etapa 5.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- 2 \cdot 1 = - 1 - 1$

Etapa 5.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 = - 1 - 1$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$- 2 = - 2$

Etapa 7

Como $- 2 = - 2$ , a equação sempre será verdadeira para qualquer valor de $x$ .

Todos os números reais

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$