Trigonometria Exemplos

$\frac{4 \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4 \sin (x)}{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)), 1 - \sin (x), 1 + \sin (x)$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.5

O fator de $1 + \sin (x)$ é o próprio $1 + \sin (x)$ .

$(1 + \sin (x)) = 1 + \sin (x)$

$(1 + \sin (x))$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.6

O fator de $1 - \sin (x)$ é o próprio $1 - \sin (x)$ .

$(1 - \sin (x)) = 1 - \sin (x)$

$(1 - \sin (x))$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O fator de $1 + \sin (x)$ é o próprio $1 + \sin (x)$ .

$(1 + \sin (x)) = 1 + \sin (x)$

$(1 + \sin (x))$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O MMC de $1 + \sin (x), 1 - \sin (x), 1 - \sin (x), 1 + \sin (x)$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$ por $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$ por $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum de $1 - \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Fatore $1 - \sin (x)$ de $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Etapa 3.3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Etapa 3.3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$4 \sin (x) = (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Etapa 3.3.1.2

Eleve $1 + \sin (x)$ à potência de $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1} (1 + \sin (x)) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Etapa 3.3.1.3

Eleve $1 + \sin (x)$ à potência de $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1} {(1 + \sin (x))}^{1} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Etapa 3.3.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1 + 1} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Etapa 3.3.1.5

Some $1$ e $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Etapa 3.3.1.6

Cancele o fator comum de $1 + \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.6.1

Cancele o fator comum.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Etapa 3.3.1.6.2

Reescreva a expressão.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (\sin (x) - 1) (1 - \sin (x))$

Etapa 3.3.1.7

Fatore $- 1$ de $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (- 1 (- \sin (x)) - 1) (1 - \sin (x))$

Etapa 3.3.1.8

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)) (1 - \sin (x))$

Etapa 3.3.1.9

Fatore $- 1$ de $- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 (- \sin (x) + 1) (1 - \sin (x))$

Etapa 3.3.1.10

Reordene os termos.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 (- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$

Etapa 3.3.1.11

Eleve $- \sin (x) + 1$ à potência de $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 ({(- \sin (x) + 1)}^{1} (- \sin (x) + 1))$

Etapa 3.3.1.12

Eleve $- \sin (x) + 1$ à potência de $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 ({(- \sin (x) + 1)}^{1} {(- \sin (x) + 1)}^{1})$

Etapa 3.3.1.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 {(- \sin (x) + 1)}^{1 + 1}$

Etapa 3.3.1.14

Some $1$ e $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 {(- \sin (x) + 1)}^{2}$

Etapa 3.3.1.15

Reescreva $- 1 {(- \sin (x) + 1)}^{2}$ como $- {(- \sin (x) + 1)}^{2}$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2}$

Etapa 4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como $\sin (x)$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

${(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2} = 4 \sin (x)$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que contêm $\sin (x)$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $4 \sin (x)$ dos dois lados da equação.

${(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Reescreva ${(1 + \sin (x))}^{2}$ como $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.2

Expanda $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.3.1.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.3.1.3

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.3.1.4

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.3.2

Some $\sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva ${(- \sin (x) + 1)}^{2}$ como $(- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - ((- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.5

Expanda $(- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x) + 1) + 1 (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 \sin (x) \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.6.1.2

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.6.1.2.1

Mova $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 (\sin (x) \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.6.1.2.2

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 \sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (1 \sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.6.1.4

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.6.1.6

Multiplique $- \sin (x)$ por $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.6.1.7

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1) - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.6.2

Subtraia $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1) - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.7

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) - (- 2 \sin (x)) - 1 \cdot 1 - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.8.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 \cdot 1 - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.3

Combine os termos opostos em $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Subtraia $\sin^{2} (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + 0 + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.3.2

Some $1 + 2 \sin (x)$ e $0$ .

$1 + 2 \sin (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.3.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$2 \sin (x) + 2 \sin (x) + 0 - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.3.4

Some $2 \sin (x) + 2 \sin (x)$ e $0$ .

$2 \sin (x) + 2 \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.4

Some $2 \sin (x)$ e $2 \sin (x)$ .

$4 \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.5

Subtraia $4 \sin (x)$ de $4 \sin (x)$ .

$0 = 0$

Etapa 4.3

Como $0 = 0$ , a equação sempre será verdadeira para qualquer valor de $x$ .

Todos os números reais

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$