Trigonometria Exemplos

${(2 \cos (t) - 4 \sin (t))}^{2} + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2} = 20$

Etapa 1

Eleve os dois lados da equação ao quadrado.

${({(2 \cos (t) - 4 \sin (t))}^{2} + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2

Simplifique ${({(2 \cos (t) - 4 \sin (t))}^{2} + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Reescreva ${(2 \cos (t) - 4 \sin (t))}^{2}$ como $(2 \cos (t) - 4 \sin (t)) (2 \cos (t) - 4 \sin (t))$ .

${((2 \cos (t) - 4 \sin (t)) (2 \cos (t) - 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Expanda $(2 \cos (t) - 4 \sin (t)) (2 \cos (t) - 4 \sin (t))$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(2 \cos (t) (2 \cos (t) - 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t) - 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(2 \cos (t) (2 \cos (t)) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t) - 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

${(2 \cos (t) (2 \cos (t)) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.1.1

Multiplique $2 \cos (t) (2 \cos (t))$ .

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Etapa 2.1.3.1.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

${(4 \cos (t) \cos (t) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.1.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

${(4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.1.3

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

${(4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(4 {\cos (t)}^{1 + 1} + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.2

Reordene $2 \cos (t)$ e $- 4 \sin (t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.3

Adicione parênteses.

${(4 \cos^{2} (t) - 4 (\sin (t) (2 \cos (t))) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.4

Reordene $\sin (t)$ e $2$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 (2 \cdot \sin (t) \cos (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.5

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.6

Adicione parênteses.

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 (\sin (t) (2 \cos (t))) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.7

Reordene $\sin (t)$ e $2$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 (2 \cdot \sin (t) \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.8

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.9

Multiplique $- 4 \sin (t) (- 4 \sin (t))$ .

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Etapa 2.1.3.1.9.1

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 \sin (t) \sin (t) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.9.2

Eleve $\sin (t)$ à potência de $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 (\sin^{1} (t) \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.9.3

Eleve $\sin (t)$ à potência de $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.9.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 {\sin (t)}^{1 + 1} + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.9.5

Some $1$ e $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.3.2

Subtraia $4 \sin (2 t)$ de $- 4 \sin (2 t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.4

Reescreva ${(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2}$ como $(4 \cos (t) + 2 \sin (t)) (4 \cos (t) + 2 \sin (t))$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + (4 \cos (t) + 2 \sin (t)) (4 \cos (t) + 2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.5

Expanda $(4 \cos (t) + 2 \sin (t)) (4 \cos (t) + 2 \sin (t))$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 4 \cos (t) (4 \cos (t) + 2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t) + 2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 4 \cos (t) (4 \cos (t)) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t) + 2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 4 \cos (t) (4 \cos (t)) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.6.1.1

Multiplique $4 \cos (t) (4 \cos (t))$ .

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Etapa 2.1.6.1.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos (t) \cos (t) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6.1.1.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 (\cos^{1} (t) \cos (t)) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6.1.1.3

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 {\cos (t)}^{1 + 1} + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6.1.2

Adicione parênteses.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 (\cos (t) (2 \sin (t))) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6.1.3

Reordene $\cos (t)$ e $2 \sin (t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 (2 \sin (t) \cos (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6.1.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6.1.5

Reordene $2 \sin (t)$ e $4 \cos (t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6.1.6

Adicione parênteses.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 (\cos (t) (2 \sin (t))) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6.1.7

Reordene $\cos (t)$ e $2 \sin (t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 (2 \sin (t) \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6.1.8

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6.1.9

Multiplique $2 \sin (t) (2 \sin (t))$ .

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Etapa 2.1.6.1.9.1

Multiplique $2$ por $2$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (t) \sin (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6.1.9.2

Eleve $\sin (t)$ à potência de $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 (\sin^{1} (t) \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6.1.9.3

Eleve $\sin (t)$ à potência de $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6.1.9.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 {\sin (t)}^{1 + 1})}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6.1.9.5

Some $1$ e $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.1.6.2

Some $4 \sin (2 t)$ e $4 \sin (2 t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 8 \sin (2 t) + 4 \sin^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.2.1

Combine os termos opostos em $4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 8 \sin (2 t) + 4 \sin^{2} (t)$ .

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Etapa 2.2.1.1

Some $- 8 \sin (2 t)$ e $8 \sin (2 t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) + 0 + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Some $4 \cos^{2} (t)$ e $0$ .

${(4 \cos^{2} (t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.2.2

Mova $4 \sin^{2} (t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) + 4 \sin^{2} (t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.2.3

Fatore $4$ de $4 \cos^{2} (t)$ .

${(4 (\cos^{2} (t)) + 4 \sin^{2} (t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.2.4

Fatore $4$ de $4 \sin^{2} (t)$ .

${(4 (\cos^{2} (t)) + 4 (\sin^{2} (t)) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.2.5

Fatore $4$ de $4 (\cos^{2} (t)) + 4 (\sin^{2} (t))$ .

${(4 (\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.3

Reorganize os termos.

${(4 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

${(4 \cdot 1 + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.5.1

Fatore $16$ de $16 \sin^{2} (t)$ .

${(4 \cdot 1 + 16 (\sin^{2} (t)) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.5.2

Fatore $16$ de $16 \cos^{2} (t)$ .

${(4 \cdot 1 + 16 (\sin^{2} (t)) + 16 (\cos^{2} (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.5.3

Fatore $16$ de $16 (\sin^{2} (t)) + 16 (\cos^{2} (t))$ .

${(4 \cdot 1 + 16 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

${(4 \cdot 1 + 16 \cdot 1)}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.7

Simplifique os termos.

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Etapa 2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.1.1

Multiplique $4$ por $1$ .

${(4 + 16 \cdot 1)}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $16$ por $1$ .

${(4 + 16)}^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.7.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.7.2.1

Some $4$ e $16$ .

$20^{2} = {(20)}^{2}$

Etapa 2.7.2.2

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$400 = {(20)}^{2}$

Etapa 3

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$400 = 400$

Etapa 4

Como $400 = 400$ , a equação sempre será verdadeira para qualquer valor de $t$ .

Todos os números reais

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$