Trigonometria Exemplos

$\sin (x) + \sqrt{3} \cos (x) < 0$

Etapa 1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum.

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.2

Divida $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 4

Separe as frações.

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 6

Divida $0$ por $1$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < 0 \sec (x)$

Etapa 7

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < 0$

Etapa 8

Subtraia $\sqrt{3}$ dos dois lados da desigualdade.

$\tan (x) < - \sqrt{3}$

Etapa 9

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x < \arctan (- \sqrt{3})$

Etapa 10

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.1

O valor exato de $\arctan (- \sqrt{3})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$x < - \frac{π}{3}$

Etapa 11

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Etapa 12

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 12.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Etapa 12.2

O ângulo resultante de $\frac{2 π}{3}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 13

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 13.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 13.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 13.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 13.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 14

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 14.1

Some $π$ com $- \frac{π}{3}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{3} + π$

Etapa 14.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 14.3

Combine frações.

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Etapa 14.3.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 14.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 14.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.4.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 14.4.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 14.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 15

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16

Consolide as respostas.

$x = \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 17

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

Etapa 18

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

Etapa 19

Como não há números que se enquadram no intervalo, essa desigualdade não tem solução.

Nenhuma solução