Trigonometria Exemplos

$400000 < - 2 p^{2} + 6000 p$

Etapa 1

Reescreva de forma que $p$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$- 2 p^{2} + 6000 p > 400000$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$- 2 p^{2} + 6000 p = 400000$

Etapa 3

Subtraia $400000$ dos dois lados da equação.

$- 2 p^{2} + 6000 p - 400000 = 0$

Etapa 4

Fatore $- 2$ de $- 2 p^{2} + 6000 p - 400000$ .

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Etapa 4.1

Fatore $- 2$ de $6000 p$ .

$- 2 p^{2} - 2 (- 3000 p) - 400000 = 0$

Etapa 4.2

Fatore $- 2$ de $- 400000$ .

$- 2 p^{2} - 2 (- 3000 p) - 2 \cdot 200000 = 0$

Etapa 4.3

Fatore $- 2$ de $- 2 (p^{2}) - 2 (- 3000 p)$ .

$- 2 (p^{2} - 3000 p) - 2 \cdot 200000 = 0$

Etapa 4.4

Fatore $- 2$ de $- 2 (p^{2} - 3000 p) - 2 (200000)$ .

$- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000) = 0$

Etapa 5

Divida cada termo em $- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000) = 0$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000) = 0$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $p^{2} - 3000 p + 200000$ por $1$ .

$p^{2} - 3000 p + 200000 = \frac{0}{- 2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Divida $0$ por $- 2$ .

$p^{2} - 3000 p + 200000 = 0$

Etapa 6

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 3000$ e $c = 200000$ na fórmula quadrática e resolva $p$ .

$\frac{3000 \pm \sqrt{{(- 3000)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 200000)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Eleve $- 3000$ à potência de $2$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{9000000 - 4 \cdot 1 \cdot 200000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 200000$ .

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Etapa 8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{9000000 - 4 \cdot 200000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $200000$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{9000000 - 800000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.3

Subtraia $800000$ de $9000000$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{8200000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.4

Reescreva $8200000$ como $200^{2} \cdot 205$ .

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Etapa 8.1.4.1

Fatore $40000$ de $8200000$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{40000 (205)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.4.2

Reescreva $40000$ como $200^{2}$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{200^{2} \cdot 205}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$p = \frac{3000 \pm 200 \sqrt{205}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$p = \frac{3000 \pm 200 \sqrt{205}}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique $\frac{3000 \pm 200 \sqrt{205}}{2}$ .

$p = 1500 \pm 100 \sqrt{205}$

Etapa 9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$p = 1500 + 100 \sqrt{205}, 1500 - 100 \sqrt{205}$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$p < 1500 - 100 \sqrt{205}$

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$

$p > 1500 + 100 \sqrt{205}$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$p = 0$

Etapa 11.1.2

Substitua $p$ por $0$ na desigualdade original.

$400000 < - 2 {(0)}^{2} + 6000 (0)$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $400000$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$p = 71$

Etapa 11.2.2

Substitua $p$ por $71$ na desigualdade original.

$400000 < - 2 {(71)}^{2} + 6000 (71)$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $400000$ é menor do que o lado direito $415918$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$p = 2934$

Etapa 11.3.2

Substitua $p$ por $2934$ na desigualdade original.

$400000 < - 2 {(2934)}^{2} + 6000 (2934)$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $400000$ não é menor do que o lado direito $387288$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ Falso

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ Verdadeiro

$p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ Falso

$p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ Falso

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ Verdadeiro

$p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$

Notação de intervalo:

$(1500 - 100 \sqrt{205}, 1500 + 100 \sqrt{205})$

Etapa 14