Trigonometria Exemplos

$4 x^{2} + 11 x - 3 < 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$4 x^{2} + 11 x - 3 = 0$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ e cuja soma é $b = 11$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $11$ de $11 x$ .

$4 x^{2} + 11 (x) - 3 = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $11$ como $- 1$ mais $12$

$4 x^{2} + (- 1 + 12) x - 3 = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 1 x + 12 x - 3 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 x^{2} - 1 x) + 12 x - 3 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (4 x - 1) + 3 (4 x - 1) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (x + 3) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 4

Defina $4 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $4 x - 1$ como igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $4 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 x = 1$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(4 x - 1) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{4}, - 3$

Etapa 7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Etapa 8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 8.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$4 {(- 6)}^{2} + 11 (- 6) - 3 < 0$

Etapa 8.1.3

O lado esquerdo $75$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$4 {(0)}^{2} + 11 (0) - 3 < 0$

Etapa 8.2.3

O lado esquerdo $- 3$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 8.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$4 {(3)}^{2} + 11 (3) - 3 < 0$

Etapa 8.3.3

O lado esquerdo $66$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < \frac{1}{4}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{4}$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < \frac{1}{4}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{4}$ Falso

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 3 < x < \frac{1}{4}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 3 < x < \frac{1}{4}$

Notação de intervalo:

$(- 3, \frac{1}{4})$

Etapa 11