Trigonometria Exemplos

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$

Etapa 1.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$

Etapa 1.1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \tan (x)$ .

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \cot (x) = 0$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.2.3.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \tan (x))} - \cot (x) = 0$

Etapa 1.1.2.3.2

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cot (x) = 0$

Etapa 1.1.3

Combine $2$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cot (x) = 0$

Etapa 1.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cot (x) = 0$

Etapa 1.1.5

Multiplique $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) ((1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))} - \cot (x) = 0$

Etapa 1.1.6

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 4.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

$\cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) ((1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum.

$\cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) ((1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 6

Multiplique $- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Etapa 6.1

Combine $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 6.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 6.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 6.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 7

Multiplique $\cos (x)$ por $0$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

Etapa 8

Multiplique os dois lados da equação por $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 9

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 10

Multiplique $\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ .

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Etapa 10.1

Combine $\sin (x)$ e $\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ .

$\frac{\sin (x) (2 \sin (x))}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 10.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 10.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 10.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 10.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 11

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 12

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 12.1

Fatore $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cos^{2} (x) = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 13

Multiplique $\sin (x)$ por $0$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 14

Substitua $2 \sin^{2} (x)$ por $2 (1 - \cos^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 15.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 15.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 16

Subtraia $\cos^{2} (x)$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 - 3 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 17

Reordene o polinômio.

$- 3 \cos^{2} (x) + 2 = 0$

Etapa 18

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 3 \cos^{2} (x) = - 2$

Etapa 19

Divida cada termo em $- 3 \cos^{2} (x) = - 2$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 19.1

Divida cada termo em $- 3 \cos^{2} (x) = - 2$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

Etapa 19.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 19.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 19.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

Etapa 19.2.1.2

Divida $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 2}{- 3}$

Etapa 19.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 19.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\cos^{2} (x) = \frac{2}{3}$

Etapa 20

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

Etapa 21

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 21.1

Reescreva $\sqrt{\frac{2}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Etapa 21.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 21.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 21.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 21.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 21.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 21.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 21.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 21.3.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 21.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 21.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 21.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 21.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 21.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 21.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 21.3.6.5

Avalie o expoente.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 21.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 21.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Etapa 21.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Etapa 22

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 22.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Etapa 22.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Etapa 22.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Etapa 23

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Etapa 24

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

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Etapa 24.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{6}}{3})$

Etapa 24.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 24.2.1

Avalie $\arccos (\frac{\sqrt{6}}{3})$ .

$x = 0.6154797$

Etapa 24.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

Etapa 24.4

Resolva $x$ .

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Etapa 24.4.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

Etapa 24.4.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 0.6154797$ .

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Etapa 24.4.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.6154797$

Etapa 24.4.2.2

Subtraia $0.6154797$ de $6.2831853$ .

$x = 5.66770559$

Etapa 24.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 24.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 24.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 24.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 24.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 24.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 25

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

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Etapa 25.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

Etapa 25.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 25.2.1

Avalie $\arccos (- \frac{\sqrt{6}}{3})$ .

$x = 2.52611294$

Etapa 25.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

Etapa 25.4

Resolva $x$ .

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Etapa 25.4.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

Etapa 25.4.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 2.52611294$ .

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Etapa 25.4.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.52611294$

Etapa 25.4.2.2

Subtraia $2.52611294$ de $6.2831853$ .

$x = 3.75707236$

Etapa 25.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 25.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 25.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 25.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 25.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 26

Liste todas as soluções.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 27

Consolide as soluções.

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Etapa 27.1

Consolide $0.6154797 + 2 π n$ e $3.75707236 + 2 π n$ em $0.6154797 + π n$ .

$x = 0.6154797 + π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 27.2

Consolide $5.66770559 + 2 π n$ e $2.52611294 + 2 π n$ em $2.52611294 + π n$ .

$x = 0.6154797 + π n, 2.52611294 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 28

Exclua as soluções que não tornam $\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$ verdadeira.

Nenhuma solução