Trigonometria Exemplos

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \cos (3 x) = 1$

Etapa 1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.1

Simplifique $\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cos (3 x))$ .

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Etapa 2.1.1.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.1.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.2.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.1.1.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.1.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.2.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.3

Combine $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ e $\cos (3 x)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.1.4.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3} \cos (3 x)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (\sqrt{3} \cos (3 x))}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (\sqrt{3} \cos (3 x))}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{3} \frac{\sqrt{3} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.5

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{\sqrt{3} \cos (3 x)}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} \cos (3 x))}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.6

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.7

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.10

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.1.1.10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.1.10.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3^{\frac{2}{2}} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.10.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3^{1} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.10.5

Avalie o expoente.

$\frac{3 \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.11

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.1.1.11.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.11.2

Divida $\cos (3 x)$ por $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$3 x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Etapa 5

Divida cada termo em $3 x = \frac{π}{6}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $3 x = \frac{π}{6}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 5.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $6$ por $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Etapa 6

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$3 x = 2 π - \frac{π}{6}$

Etapa 7

Resolva $x$ .

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Etapa 7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 7.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 7.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 7.1.4

Multiplique $6$ por $2$ .

$3 x = \frac{12 π - π}{6}$

Etapa 7.1.5

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$3 x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 7.2

Divida cada termo em $3 x = \frac{11 π}{6}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $3 x = \frac{11 π}{6}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 7.2.3.2.1

Multiplique $\frac{11 π}{6}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{11 π}{6 \cdot 3}$

Etapa 7.2.3.2.2

Multiplique $6$ por $3$ .

$x = \frac{11 π}{18}$

Etapa 8

Encontre o período de $\cos (3 x)$ .

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Etapa 8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.2

Substitua $b$ por $3$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Etapa 8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 9

O período da função $\cos (3 x)$ é $\frac{2 π}{3}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{2 π}{3}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$