Trigonometria Exemplos

$\frac{\tan (x) - 1}{\tan (x) + 1} = \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $\tan (x) + 1$ .

$\frac{\tan (x) - 1}{\tan (x) + 1} (\tan (x) + 1) = \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} (\tan (x) + 1)$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum de $\tan (x) + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\tan (x) - 1}{\tan (x) + 1} (\tan (x) + 1) = \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} (\tan (x) + 1)$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\tan (x) - 1 = \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} (\tan (x) + 1)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique $\frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} (\tan (x) + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\tan (x) - 1 = \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} \tan (x) + \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.2

Combine $\frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$ e $\tan (x)$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{(1 - \cot (x)) \tan (x)}{1 + \cot (x)} + \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.3

Multiplique $\frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$ por $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{(1 - \cot (x)) \tan (x)}{1 + \cot (x)} + \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Etapa 2.2.1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\tan (x) - 1 = \frac{(1 - \cot (x)) \tan (x) + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\tan (x) - 1 = \frac{1 \tan (x) - \cot (x) \tan (x) + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - \cot (x) \tan (x) + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Etapa 2.2.1.2.3

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.3.1

Adicione parênteses.

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - (\cot (x) \tan (x)) + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Etapa 2.2.1.2.3.2

Reescreva $- \cot (x) \tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Etapa 2.2.1.2.3.3

Cancele os fatores comuns.

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - 1 \cdot 1 + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Etapa 2.2.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - 1 + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Etapa 2.2.1.3

Combine os termos opostos em $\tan (x) - 1 + 1 - \cot (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1

Some $- 1$ e $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) + 0 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Etapa 2.2.1.3.2

Some $\tan (x)$ e $0$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\tan (x) = \frac{\tan (x) - \cot (x)}{1 + \cot (x)} + 1$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\tan (x) - \cot (x)}{1 + \cot (x)} + 1$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cot (x)}{1 + \cot (x)} + 1$

Etapa 3.3.1.1.2

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \cot (x)} + 1$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $\cos (x) \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Multiplique $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ por $\frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.3.2

Combine.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x) \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) (1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})} + 1$

Etapa 3.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.5

Simplifique cancelando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.5.1

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.5.1.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x) (\sin (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.5.1.2

Cancele o fator comum.

Etapa 3.3.1.5.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.5.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.5.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.5.6

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.5.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ para o numerador.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.5.6.2

Fatore $\sin (x)$ de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.5.6.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.5.6.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.5.7

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.5.8

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.5.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.5.10

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.5.11

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.5.11.1

Fatore $\sin (x)$ de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.5.11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Etapa 3.3.1.5.11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)} + 1$

Etapa 3.3.1.5.12

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos^{1} (x) \cos (x)} + 1$

Etapa 3.3.1.5.13

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + 1$

Etapa 3.3.1.5.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + {\cos (x)}^{1 + 1}} + 1$

Etapa 3.3.1.5.15

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x)} + 1$

Etapa 3.3.1.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \sin (x)$ e $b = \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x)} + 1$

Etapa 3.3.1.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.7.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.7.1.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \sin (x) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) (\sin (x) \cdot 1) + \cos^{2} (x)} + 1$

Etapa 3.3.1.7.1.2

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) (\sin (x) \cdot 1) + \cos (x) \cos (x)} + 1$

Etapa 3.3.1.7.1.3

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) (\sin (x) \cdot 1) + \cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) (\sin (x) \cdot 1 + \cos (x))} + 1$

Etapa 3.3.1.7.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) (\sin (x) + \cos (x))} + 1$

Etapa 3.3.1.8

Cancele o fator comum de $\sin (x) + \cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) (\sin (x) + \cos (x))} + 1$

Etapa 3.3.1.8.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + 1$

Etapa 3.4

Multiplique os dois lados da equação por $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + 1)$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Cancele o fator comum.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + 1)$

Etapa 3.5.2

Reescreva a expressão.

$\sin (x) = \cos (x) (\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + 1)$

Etapa 3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) = \cos (x) \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 1$

Etapa 3.7

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Cancele o fator comum.

$\sin (x) = \cos (x) \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 1$

Etapa 3.7.2

Reescreva a expressão.

$\sin (x) = \sin (x) - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1$

Etapa 3.8

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \sin (x) - \cos (x) + \cos (x)$

Etapa 3.9

Combine os termos opostos em $\sin (x) - \cos (x) + \cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Some $- \cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$\sin (x) = \sin (x) + 0$

Etapa 3.9.2

Some $\sin (x)$ e $0$ .

$\sin (x) = \sin (x)$

Etapa 3.10

Para que as duas funções sejam iguais, os argumentos de cada uma delas devem ser iguais.

$x = x$

Etapa 3.11

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x - x = 0$

Etapa 3.11.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$0 = 0$

Etapa 3.12

Como $0 = 0$ , a equação sempre será verdadeira para qualquer valor de $x$ .

Todos os números reais

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$