Trigonometria Exemplos

$\frac{\tan^{2} (t)}{\sec (t)} = \sec (t) - \cos (t)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique $\frac{\tan^{2} (t)}{\sec (t)}$ .

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Etapa 1.1.1

Separe as frações.

$\frac{\tan^{2} (t)}{1} \cdot \frac{1}{\sec (t)} = \sec (t) - \cos (t)$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\sec (t)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\tan^{2} (t)}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} = \sec (t) - \cos (t)$

Etapa 1.1.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{\tan^{2} (t)}{1} (1 \cos (t)) = \sec (t) - \cos (t)$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\cos (t)$ por $1$ .

$\frac{\tan^{2} (t)}{1} \cos (t) = \sec (t) - \cos (t)$

Etapa 1.1.5

Divida $\tan^{2} (t)$ por $1$ .

$\tan^{2} (t) \cos (t) = \sec (t) - \cos (t)$

Etapa 1.1.6

Reescreva $\tan (t)$ em termos de senos e cossenos.

${(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} \cos (t) = \sec (t) - \cos (t)$

Etapa 1.1.7

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} \cos (t) = \sec (t) - \cos (t)$

Etapa 1.1.8

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

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Etapa 1.1.8.1

Fatore $\cos (t)$ de $\cos^{2} (t)$ .

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t) \cos (t)} \cos (t) = \sec (t) - \cos (t)$

Etapa 1.1.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t) \cos (t)} \cos (t) = \sec (t) - \cos (t)$

Etapa 1.1.8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} = \sec (t) - \cos (t)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Reescreva $\sec (t)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} = \frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $\cos (t)$ .

$\cos (t) \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} = \cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (t) \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} = \cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$\sin^{2} (t) = \cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))$

Etapa 5

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin^{2} (t) = \cos (t) \frac{1}{\cos (t)} + \cos (t) (- \cos (t))$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum.

$\sin^{2} (t) = \cos (t) \frac{1}{\cos (t)} + \cos (t) (- \cos (t))$

Etapa 6.2

Reescreva a expressão.

$\sin^{2} (t) = 1 + \cos (t) (- \cos (t))$

Etapa 7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\sin^{2} (t) = 1 - \cos (t) \cos (t)$

Etapa 8

Multiplique $- \cos (t) \cos (t)$ .

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Etapa 8.1

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\sin^{2} (t) = 1 - (\cos^{1} (t) \cos (t))$

Etapa 8.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\sin^{2} (t) = 1 - (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))$

Etapa 8.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin^{2} (t) = 1 - {\cos (t)}^{1 + 1}$

Etapa 8.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (t) = 1 - \cos^{2} (t)$

Etapa 9

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\sin^{2} (t) = \sin^{2} (t)$

Etapa 10

Como os expoentes são iguais, as bases deles nos dois lados da equação devem ser iguais.

$| \sin (t) | = | \sin (t) |$

Etapa 11

Resolva $t$ .

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Etapa 11.1

Reescreva a equação de valor absoluto como quatro equações sem barras de valor absoluto.

$\sin (t) = \sin (t)$

$\sin (t) = - \sin (t)$

$- \sin (t) = \sin (t)$

$- \sin (t) = - \sin (t)$

Etapa 11.2

Depois de simplificar, há apenas duas equações únicas para resolver.

$\sin (t) = \sin (t)$

$\sin (t) = - \sin (t)$

Etapa 11.3

Resolva $\sin (t) = \sin (t)$ para $t$ .

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Etapa 11.3.1

Para que as duas funções sejam iguais, os argumentos de cada uma delas devem ser iguais.

$t = t$

Etapa 11.3.2

Mova todos os termos que contêm $t$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 11.3.2.1

Subtraia $t$ dos dois lados da equação.

$t - t = 0$

Etapa 11.3.2.2

Subtraia $t$ de $t$ .

$0 = 0$

Etapa 11.3.3

Como $0 = 0$ , a equação sempre será verdadeira.

Todos os números reais

Etapa 11.4

Resolva $\sin (t) = - \sin (t)$ para $t$ .

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Etapa 11.4.1

Mova todos os termos que contêm $\sin (t)$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 11.4.1.1

Some $\sin (t)$ aos dois lados da equação.

$\sin (t) + \sin (t) = 0$

Etapa 11.4.1.2

Some $\sin (t)$ e $\sin (t)$ .

$2 \sin (t) = 0$

Etapa 11.4.2

Divida cada termo em $2 \sin (t) = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 11.4.2.1

Divida cada termo em $2 \sin (t) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 11.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 11.4.2.2.1.2

Divida $\sin (t)$ por $1$ .

$\sin (t) = \frac{0}{2}$

Etapa 11.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.4.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$\sin (t) = 0$

Etapa 11.4.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do seno.

$t = \arcsin (0)$

Etapa 11.4.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.4.4.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$t = 0$

Etapa 11.4.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$t = π - 0$

Etapa 11.4.6

Subtraia $0$ de $π$ .

$t = π$

Etapa 11.4.7

Encontre o período de $\sin (t)$ .

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Etapa 11.4.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 11.4.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 11.4.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 11.4.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 11.4.8

O período da função $\sin (t)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$t = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Consolide as respostas.

$t = π n$ , para qualquer número inteiro $n$